古諾寡頭壟斷 - 一階條件
我正在閱讀一篇文章，其中描述了 Cournot n-firm 博弈的一階條件：
拿 $ P(Q) = Q^{-1} $ , $ \pi_i(q_i, Q) = (Q^{-1} - c_i)q_i $ .
然後是內部利潤最大化選擇的一階條件 $ q_i $ 要求
$$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = Q^{-1} - c_i - q_iQ^{-2} = 0. $$
我試圖理解為什麼可以簡單地採取 $ \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} $ 無視這樣一個事實 $ Q $ 實際上是一個函式 $ q_i $ . 如果我擴展這個術語，那麼 $ Q = q_i + q_{-i} $ 並取偏導數 $ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial q_{-i}} $ ，解決方案與文章中寫的不一樣。將不勝感激任何解釋。
筆記 ： $ Q = \sum_{i=1}^n q_i $ .
因此企業的優化問題 $ i $ 是： $$ \begin{align} max_{x_i\in\mathbb{R}+}\pi_i(q_i,Q) \end{align} $$ 在哪裡 $ \pi_i(q_i,Q) = \big(Q^{-1}(q_i;q{-i}) -c_i\big)q_i $ . 假設內部解，一階條件為 $$ \begin{align} \frac{\partial\pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial q_i} &= 0\ \implies (Q^{-1} - c_i) + (-1)Q^{-2}q^_i 1 &= 0\ \implies q^*_i &= Q(1-Qc_i) \end{align} $$
上述答案的要點/縮短和通用版本：
在上下文中 $ Q = \sum_i q_i $ 方程 $$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial Q}{\partial q_i}\frac{\partial \pi_i}{\partial Q} $$ 持有為 $$ \frac{\partial Q}{\partial q_i} = 1. $$