貝氏定理機率罐
我試圖在下面提出不同的理論答案。
我相信標準是基於貝氏定理，但我正在努力證明這一點。
一個罐子有1000個硬幣，其中999個是公平的，1個是雙頭的。隨機挑選一枚硬幣，投擲 10 次。假設你看到 10 個正面，那麼下一次拋硬幣也是正面的機率是多少？證明給我看。
有人有想法嗎？
這只是面試練習書《Heard on the Street》中4.22題的延伸。
也許他們希望您按照以下構想進行推理：
$$ \frac{1}{2^{10}}= \frac{1}{1024} \approx \frac{1}{1000}. $$
所以公平硬幣與非公平硬幣的機率大約是偶數，正面的機率大約是
$$ 0.5 \times 0.5 + 0.5 \times 1 = 0.75. $$
上面的論證可以更精確，讓 $ u = \frac{999}{1000}\frac{1}{2^{10}} $ 是選擇無偏硬幣並觀察到 10 個正面的機率， $ b = \frac{1}{1000} $ 選擇有偏硬幣的機率和 $ p = u + b $ . 任何一個 $ u $ 或者 $ b $ 發生了，所以下次投擲正面的機率是
$$ P(\textrm{Next throw is heads}) = \frac{1}{2} \frac{u}{p} + \frac{b}{p}. $$
您可以驗證 $ u \approx b $ 因此，包絡計算的後面並不遠，這導致與其他答案相同的分數。
讓 $ X_i $ 是結果，在哪裡 $ X_i=1 $ 意味著頭和 $ X_i=0 $ 作為尾巴。
讓 $ \theta_j\in{0.5,1} $ ， 在哪裡 $ \theta_j $ 是正面的偏見。
$ \theta_1=.5 $ 和 $ \theta_2=1 $ .
$$ \Pr(\theta_1|X_{1\dots{10}}=1)\propto{\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}\frac{999}{1000}=\frac{999}{1000\times{1024}}. $$
$$ \Pr(\theta_2|X_{1\dots{10}}=1)\propto{1^{10}}\frac{1}{1000}=\frac{1024}{1000\times{1024}}. $$
$$ \Pr(X_{1\dots{10}}=1)=\frac{999+1024}{1000\times{1024}} $$
$$ \Pr(\theta_1|X_{1\dots{10}}=1)=\frac{999}{999+1024}=\frac{999}{2023} $$
$$ \Pr(\theta_2|X_{1\dots{10}}=1)=\frac{1024}{999+1024}=\frac{1024}{2023} $$
$$ \Pr(X_{11}=1|X_{1\dots{10}}=1)=\sum_{j=1}^2\left[\theta_j(1-\theta_j)\right]\Pr(\theta_j|X_{1\dots{10}}=1) $$
$$ \Pr(X_{11}=1|X_{1\dots{10}}=1)=\frac{1}{2}\frac{999}{2023}+1\frac{1024\times{2}}{2\times{2023}}=\frac{3047}{4046}\approx{.75} $$
我對回答這個問題進行了辯論，因為它可能被認為更適合交叉驗證或數學，但是，我決定這樣做是出於與 QF 直接相關的幾個原因。
首先，量化金融是算計博弈。貝氏統計是連貫的。頻率統計是不連貫的。如果可以從中創建公平賭博，則統計數據被認為是一致的。它大大超出了您的問題範圍，但是如果您正在為貸款或期權定價，那麼使用頻率方法在技術上是不正確的，至少對於金融中介來說是這樣。
第二個原因是這個問題是實際金融問題的離散形式。給定一個未知參數和一個歷史記錄，世界未來狀態的機率是多少？
您需要很好地掌握貝氏先驗分佈、貝氏後驗分佈和貝氏後驗預測分佈。