資產收益分佈的中心極限定理與正態假設
中心定理能否證明資產收益分佈的正態假設？如果可以，為什麼經驗證據表明，許多金融模型所基於的這一假設與現實相去甚遠？
不，我剛剛發表了一篇關於此的論文。如果 return 定義為
$$ r_t=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t}, $$由於收益不是數據，而價格和數量是數據，因此收益的分佈完全取決於價格的分佈和數量的分佈。例如，在破產中， $ q_{t+1}=0 $ . 由於這是一篇很長的論文，回報中沒有單一分佈，甚至沒有涉及一系列分佈。在 Markowitzian 模型中的標準陳述假設下，收益的分佈將整合為
$$ \frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}. $$ 這個假設源於這樣一個事實，即有很多買家和賣家，並且股票是在雙重拍賣中出售的，因此不會出現贏家詛咒。如果存在贏家詛咒，就像在古董拍賣中一樣，那麼分佈將是兩個 Gumbel 分佈的比率。 無論如何，除了一些有趣的特殊例外，股本證券的回報不可能有平均值。由於不可能有平均回報，那麼它遵循 $ \beta $ 如 CAPM 等模型中定義的那樣，不能存在。所有這些金融模型中的一個假設是參數已知的機率為 1，但如果你放棄這個假設，你會發現不存在可以收斂到總體參數的估計量。
比率分佈是眾所周知的，並作為統計學中的標準研究生工作教授。如果底層證券是連續密度的，那麼找到比率分佈的最常用方法是，如果 $ Z=\frac{Y}{X} $ , 那麼密度 $ Z $ 是
$$ g(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,zx)\mathrm{d}x. $$ 有了這個，您幾乎可以獲得任何形式的回報，除了單期貼現債券和現金換股票合併以及會計比率和增長率。
根據經驗，任何財務回報數據以及相當多的宏觀經濟數據都嚴重違反了中心極限定理。此外，根據經驗，金融數據不存在非貝氏估計量。幾週後，我將在阿爾伯克基的一次會議上介紹這一點以及替代布萊克-斯科爾斯的人選。其簡短形式如下：
對於一個方程，例如
$$ x_{t+1}=\beta{x}t+\epsilon{t+1},\beta>1 $$只有泰爾回歸或分位數回歸等非參數回歸方法才有效。貝氏方法的風險永遠不會低於頻率論方法，儘管反之則不然。如果我們假設如果先驗密度是平坦的並且討厭的參數被邊緣化，那麼頻率工具所選擇的採樣密度與後驗密度相同，那麼頻率工具密度仍然是不可接受的。 問題是頻率抽樣分佈是對稱的，並且將包括以下區域 $ \beta\le{1} $ . 如果該區域的密度為 $ K $ 大於一的區域有面積 $ 1-K $ 然後它遵循貝氏後驗密度與先驗 $ \Pr(\beta\le{1})=0 $ 在小於或等於 1 的區域中質量為零，但其密度為
$$ \frac{1-K}{K} $$比等效的非貝氏分量大幾倍。 因為可接受性可以用隨機優勢來定義，所以貝氏估計量總是隨機地支配頻率估計量。因此，對於大多數涉及增長的金融問題和大多數宏觀經濟問題，沒有可接受的非貝氏方法。
正態性只是一個可用於通知模型的假設。沒有模型是正確的，但有些模型可能有用。此外，正常的假設並不真正取決於實際過程是否正常。相反，它只要求投資者的決策由均值和變異數驅動。雖然資產價格回報的基本過程幾乎從不正常 - 就其本身而言 - 我們通常假設正常，因為：
- 退貨大致正常；
- 當一個結果是由許多小效應相加和獨立作用產生的，它的分佈將接近於正態分佈；和，
- 沒有常態就很難做經濟學
假設聯合正態性的投資者不需要對其他任何事情感興趣，因為正態分佈是最大熵分佈，它完全由兩個參數描述：均值 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2 $ . 因此，正態性假設在這些時刻之外施加了最小的先驗結構約束。只關心不使用正態性的均值和變異數的投資者正在考慮其他假設，這些假設可能正確或穩健，也可能不正確。
有一些理論定義了投資者對前兩個以外時刻的偏好，但據我所知，支持這種立場的證據並不多。請參閱：投資者可能偏好高於前 2 個回報分佈的時刻？
通過 Lindeberg-Lévy 中心極限定理 (CLT) 經典地證明了對數回報的近似正態性。正態性也由於 CLT 的變化而出現，其中任何分佈的均值樣本將趨於正態。因此，當您開始查看大量資產和回報時，分佈將趨於正常。
但是，如果您決定不假設正態性，您可能應該有一個令人信服的理由，因為如果沒有這個假設，做經濟學會更加困難。
例如，變異數最小化技術，例如在現代投資組合理論 (MPT) 下定義的技術，隱含地基於聯合正態性假設。即使有一組組合權重可以最小化變異數而不管基礎分佈如何，但如果聯合多元分佈是正態的，相關性（也不假設正態性）只是一個完整的關聯度量；即，如果聯合分佈本身是正態的，共變異數只是協動的詳盡度量。我們可以看到這是正確的，因為 X 和 Y 的聯合分佈由聯合正態性定義：
$ {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\iint _{X,Y}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {X^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-{\frac {2\rho XY}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\right)\right],\mathrm {d} X,\mathrm {d} Y $
通過一個證明可以證明產生：
$ \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}}, $
如果現在，我們定義 $ \omega_i \sigma^2_i=\sigma_X $ ， 和 $ \omega_j \sigma^2_j=\sigma_Y $ ，然後我們得到作為兩個資產組合的均值變異數優化基礎的方程：
$ \mathbb{E}[\sigma {p}^{2}]=\omega{i}^{2}\sigma {i}^{2}+\omega{j}^{2}\sigma {j}^{2}+2\omega{i}\omega_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij} $
因此，儘管始終可以計算投資組合共變異數矩陣，但如果標的資產具有不正常的回報，則優化可能是虛假的。