我對幾何布朗運動參數的估計是否正確？
我寫了一個幾何布朗運動的模擬，它的工作原理是這樣的：
- $ { t }{ i }-{ t }{ i-1 } \sim Exp(\lambda ) $
- $ { Z }_{ i }\sim N(0,1) $
- $ { Y }{ i }\sim { e }^{ \sigma \sqrt { { t }{ i }-{ t }{ i-1 } } { Z }{ i }+\left( \mu -\frac { { \sigma }^{ 2 } }{ 2 } \right) \left( { t }{ i }-{ t }{ i-1 } \right) } $
- $ S({ t }{ 1 })=S({ t }{ 0 })\times { Y }_{ 1 } $
- $ S({ t }{ 2 })=S({ t }{ 1 })\times { Y }{ 2 }=S({ t }{ 0 })\times { Y }{ 1 }\times { Y }{ 2 } $
- $ S({ t }{ k })=S({ t }{ k-1 })\times { Y }{ k }=S({ t }{ 0 })\times { Y }{ 1 }\times { Y }{ 2 }\times\dots \times{ Y }_{ k } $
為了驗證我的程式碼是否正確，我嘗試從從中提取的樣本中估計我的模擬參數。
我的參數估計策略是這樣的：
我知道 $ \mathrm{E}[{ t }{ i }-{ t }{ i-1 }] = \frac{1}{\lambda} $
自從 $ \ln { \frac { S({ t }{ i+1 }) }{ S({ t }{ i }) } \sim N(\tilde { \mu } ,\tilde { \sigma } ) } $ ，我只是使用了正態分佈的參數估計技術來估計 $ \tilde { \mu } $ 和 $ \tilde { \sigma } $ .
自從 $ \tilde { \sigma } = \sigma \sqrt{ { t }{ i }-{ t }{ i-1 }} $ , 我推斷 $ \sigma = \frac { \tilde { \sigma } }{ \sqrt{ \mathrm{E}[{ t }{ i }-{ t }{ i-1 }]} } $
自從 $ \tilde { \mu } = \left( \mu -\frac { { \sigma }^{ 2 } }{ 2 } \right) \left( { t }{ i }-{ t }{ i-1 } \right) $ , 我推斷 $ \mu = \frac { \tilde { \mu } }{ \mathrm{E}[{ t }{ i }-{ t }{ i-1 }] } + \frac { { \sigma }^{ 2 } }{ 2 } $ 我在哪裡使用 $ \sigma $ 從上面估計。
我的邏輯正確嗎？我沒有使用任何形式的推理，所以我不確定我的參數估計方法是否正確。有人能幫我嗎？
這不是家庭作業。我只是想編寫表現得像金融市場的程序。
首先指出這一點。您不模擬標準幾何布朗運動，而是模擬時變 GBM，其中時間分佈是具有參數的指數分佈 $ \lambda $ 獨立於 GBM。
使用時間變化技術，人們通常假設預期時間是無偏的。如果您將每個時間間隔寫為
$$ (t_i - t_{i-1}) \Lambda_i $$ 和 $ \Lambda_i \sim Exp(\lambda) $ 人們通常認為 $ E[ (t_i - t_{i-1}) \Lambda_i] = t_i - t_{i-1} $ ，因此簡而言之 $ E[\Lambda_i ] = 1 $ . 這只有在您使用時才能實現 $ \Lambda_i \sim Gamma(1/\lambda,1/\lambda) $ . 你最終得到了布朗運動的變異數伽瑪過程。
你走在正確的軌道上。定義 $ X_i = \ln(S_{t_i}/S_{t_{i-1}})) $ . 這個過程是一個帶有漂移的變異數伽馬過程。您可以在提到的維基百科頁面上找到校準此過程的方法。
使用附加參數 $ \lambda $ 只看期望值和變異數是不夠的。你需要一個更高的時刻——通常是峰態。