有人可以證明（或反駁）這個關於正態分佈的斷言嗎？

讓 $ X $ 分發為 $ Normal (\mu, \sigma^2) $ . 那麼對於一個固定的 $ \mu $ 總是這樣：

$$ \begin{equation} \frac{90th quantile-10th quantile}{\sigma}=constant \quad \forall \sigma>0 \end{equation} $$

提前致謝！

讓 $ p\in(0,1) $ . 對應的分位數函式 $ X\sim N(\mu,\sigma^2) $ 是（誰）給的$$ F_X^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)=\mu+\sqrt{2}\sigma\mathrm{erf}^{-1}(2p-1), $$ 在哪裡 $ \Phi^{-1} $ 是標準正態分佈隨機變數的累積分佈函式的倒數，並且 $ \mathrm{erf}^{-1} $ 是反向誤差函式。

因此， $$ \begin{align} \frac{\mathrm{Quantile}(0.9)-\mathrm{Quantile}(0.1)}{\sigma}&=\frac{\mu+\sigma\Phi^{-1}(0.9)-(\mu+\sigma\Phi^{-1}(0.1))}{\sigma} \ &=\Phi^{-1}(0.9)-\Phi^{-1}(0.1) \ &\approx 2.56. \end{align} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/51262