通過蒙特卡羅模擬收斂 0.05 個分位數的分佈
我正在努力被量化金融碩士錄取（我來自電腦科學背景），所以下週我將有 3 小時的時間使用我最喜歡的語言（他們推薦 MATLAB、Python 或 R）解決統計計算方面的考試. 我收到的模擬考試提出以下問題：
從具有參數的穩定分佈生成 2 年時間序列（500 個觀測值）
$$ \alpha = 1.5, \quad \beta = 0.0, \quad \gamma = 1.0, \quad \delta = 1.0 $$ a) 找出分佈 $ 0.05 $ 從 1 天回報的 2 年時間序列中獲得的 5 天重疊回報的分位數。
b) 證明（在數值上或理論上）已經考慮了足夠的試驗。
做筆記 $ P_i $ 作為價格 $ i $ - 第一天，
- 1 天退貨： $ R_{1}^{i} = \frac{P_{i+1} - P_{i}}{P_{i}}, ; i=1,\ldots,499 $
- n 天回報： $ R_{n}^{i} = \frac{P_{i+n} - P_{i}}{P_{i}} $ .
我對整個事情有點困惑，所以我需要一些幫助來檢查我是否正確地解決了這個問題。以下是我將如何解決它：
1）使用這種技術生成一個 500 值的時間序列（我假設它們指的是 alpha 穩定的分佈系列）；
**2)**在玩了一會兒之後，我能夠從原來的 1 天退貨時間序列中獲得 5 天退貨時間序列：
$$ R^{n}{i} = (R^{1}{i} + 1) (R^{1}{i+1} + 1) \ldots (R^{1}{i+n-1} + 1) - 1 $$ **3)**計算 5 天收益的經驗分佈函式，比如說 $ F(x) $ ;
**4）**估計每個分位數 $ q_{\eta} $ 經過
$$ \hat q_{\eta} = F^{-1}(\eta) $$ 注意：為了反轉經驗分佈函式，我將按模擬值的大小對模擬值進行排序，然後在位置選擇值 $ k = \min { n \in { 1, \ldots, N } | n/N \geq \eta } $
**5）**保存分佈 $ 0.05 $ 分位數
**6)重複步驟1)到5)**最少次數， $ K $ ，我需要通過一些收斂法什麼的來確定。
**問題：**關於如何確定的任何提示 $ K $ ?
兩條評論：
- 正常回報應始終在 $ [-1,+\infty) $ . 我相信你採樣的方式 $ R_i $ from Stable 直接違反了這一點。您可能想要採樣 $ \log (1+R_i) $ 取而代之的是穩定。這個問題的措辭非常糟糕。
- 對於百分位數的抽樣分佈，您可以呼叫訂單統計資訊。它將遵循 Beta 分佈的轉變。
編輯：關於您對第 2 點的評論：
如果一個隨機變數 $ X $ 使用 cdf 遵循任何連續分佈 $ F(x)=P[X<x] $ 然後是隨機變數 $ U=F(X) $ 將遵循均勻分佈。或者，反過來說，如果 $ U $ 是均勻的，那麼 $ X=F^{-1}(U) $ 將具有所需的分佈。
另請注意 $ F $ 是單調變換，也就是說如果我有一個樣本 $ X_1>X_2>\cdots>X_n $ 然後變身 $ U_1>U_2>\cdots>U_n $ .
可以證明，如果我畫一個樣本 $ N $ 由均勻分佈，則 $ k $ th 最小的，表示 $ U_{(k)} $ , 將遵循 Beta 分佈 $ B(k, N-k+1) $ , 用 cdf 說 $ Q(u;k,N) = P[U_{(k)}<u] $ . 如果我想使用給定的百分位數 $ p $ ，然後我可以設置 $ k=pN $ , 並且百分位數的分佈將有 cdf $ Q(u;pN, N) $ .
將兩者放在一起產生的 cdf $ p $ 的百分位數 $ N $ 繪製 $ X $ 將有 cdf $ Q(F(x);pN,N) $ .
這一切對我來說都是正確的。將一日收益轉換為價格，然後從中計算五天收益可能更自然一些，但它當然是等價的。
對於您的最後一個問題，您正在生成一系列隨機變數（分位數），並且想知道您對平均值的估計有多好。一個實際的選擇是以通常的方式估計平均值的標準誤差。