計算 GARCH 係數顯著性的自由度
我試圖通過使用以下 Matlab 公式計算 p 值來確定 GARCH 模型係數的重要性：
pvalues = 2*(1-tcdf(abs(t),nv)),
在哪裡 $ t $ 是 t 統計量， $ n $ 觀察次數和 $ v $ 自由度。我應該使用 $ v=2 $ 作為自由度的數量，還是取決於要估計的參數數量，如線性回歸？
$ v $ 應該是參數的總數（常數 + AR + MA + GARCH + ARCH）。
我不同意@kiwiakos，使用學生 t(df) 分佈是因為我們使用標準誤差，它是標準偏差的估計（而不是真正的標準偏差）來計算統計數據。這就是我們使用學生 t 檢驗的原因，即使參數漸近分佈是高斯分佈。
那麼 p 值的公式為：
例子 ：
係數 = 0.15
標準錯誤 = 0.064（或穩健標準錯誤）
t 統計量是：0.15/ 0.064 = 2.3438（不是 p 統計量，因為我們使用標準誤差！）
t-prob = p-value = 2*(1-tcdf( | 2.3438 | ,nv)) （學生分佈的 p 值而不是正常分佈的 p 值！）
編輯
這並非特定於 GARCH 參數，而是特定於檢驗統計理論。
主要思想：
只有在總體變異數沒有不確定性的情況下，我們才應該使用 z 檢驗。然而，這種情況很少發生，因此 p 值是使用學生 t 分佈獲得的。如果樣本量足夠大，則可以使用正態分佈（即 z 檢驗）。
讓我們 X 是一個高斯隨機變數，讓 $ \bar{X} $ 為樣本均值。
標準化統計量 z 是正態分佈的（參見中心極限定理），由下式給出：
$ z = (\bar{x} - m_{0} )/ \sigma_{\bar{X}} $
在哪裡 $ \sigma_{\bar{X}} $ 是樣本均值的標準差。我們可以根據總體變異數計算這個標準差 $ \sigma_{X}^{2} $ 它由以下給出：
$$ \begin{equation*}\begin{aligned} \sigma_{\bar{X}}^{2} &=& var{\dfrac{1}{n}(X_{1}+\ldots + X_{n})}\ &=&\dfrac{1}{n^2} var{( X_{1}+\ldots + X_{n} )}\ &=&\dfrac{1}{n^2} (\sigma_{X}^{2}+ \ldots+ \sigma_{X}^{2})\ &=&\dfrac{1}{n^2} (n\sigma_{X}^{2})\ &=& \frac{\sigma_{X}^{2}}{n} \end{aligned}\end{equation*} $$ 但是，由於我們不知道總體變異數 $ \sigma^{2}{X} $ 我們需要對其進行估計，這會引入一些不確定性。近似總體變異數 $ \sigma{X}^{2} $ ,（通常）我們使用由 給出的樣本變異數：
$$ \begin{equation*} s_{X}^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2} \end{equation*} $$ 然後樣本均值的變異數近似如下：
$ \widehat{ \sigma^{2}{\bar{X}}} = \frac{s{X}^{2} }{ n} $
（代替 $ \frac{\sigma_{X}^{2}}{n} $ )
所以標準誤差（考慮到這種不確定性）是：
$ se = \sqrt{\widehat{ \sigma^{2}{\bar{X}}} } = \frac{s{X} }{\sqrt{n}} $
z檢驗修改如下：
$ z = \frac{ \bar{x} - m_{0} }{ \sigma_{\bar{X}} } $
變成：
$ t = \frac{ \bar{x} - m_{0} }{ se } $
和 $ t $ 將是學生 t 以（n 個參數）自由度分佈（見這裡）。
我們使用標準誤差而不是標準差這一事實使 Z 檢驗成為 T 檢驗。當我們使用 MLE 方法時，也是一樣的，我們可以將 X 替換為估計參數（這是漸近高斯隨機變數）。我們不使用他們的真實標準偏差，但我們使用它的估計。Hessian 給我們的是標準誤差，而不是標準偏差（因為存在不確定性——我們觀察的不是總體而是樣本）。所以我們應該使用 $ t $ 測試。
請注意，當 $ n $ （觀察次數）增加學生 t 分佈變得更接近正態分佈，然後使用正態分佈或學生 t 分佈獲得的 p 值將變得相同（參見 @John 評論）。這是合乎邏輯的，因為不確定性會隨著觀察次數的增加而降低。