對數回報的微分方程
我有一個對你們大多數人來說可能微不足道的問題，但不知何故我無法自己解決。我與我的同事在幾何布朗運動的分佈特性上有分歧：我的觀點是，如果你估計參數 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 在日誌返回（並假設它們是正常的）時，GBM 點 $ t $ 確實有一個期望值 $ X_0\exp{((\mu+\sigma^2/2)t)} $ （對數正態的屬性）而不是 $ X_0 \exp{(\mu t)} $ 如文獻中所見，因為有 $ \mu $ 是股票價格過程本身的微分方程的漂移項，而不是其對數收益的漂移項。我試圖通過幾個推導和數值例子來證實我的觀點。我的同事雖然仍然不相信，因為我使用 $ \text{d }{\ln{!X}} $ 在 Ito 的引理中用於日誌返回，但他認為它們是 $ \ln{(X_t/X_{t-1})} $ . 顯然，我對微分方程的了解太有限，無法找到從對數返回到相應 SDE 的步驟。在文獻中，我只找到以 sde 開頭的推導 $ X $ . 我期待著你的提示。
如果你考慮 $ X_1 $ 一個正態分佈的隨機變數 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2 $ 他們 $ S_1 = \exp(X_1) $ 是對數正態分佈，均值 $ \exp(\mu + \sigma^2/2) $ 和變異數 $ (\exp(\sigma^2)-1)\exp(2\mu+\sigma^2) $ . 這遵循正態分佈和對數正態分佈的定義，並從這些定義中得出期望值和變異數，您可以在此處找到它。
如果你定義一個過程 $ X_t $ 經過
$$ dX_t = \mu dt + \sigma dB_t, $$ 那麼這個過程有期望 $ \mu t $ 和變異數 $ \sigma^2 t $ 通過基本的 SDE 理論。如果考慮過程 $ S_t = \exp(X_t) $ 然後你得到伊藤引理 $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dB_t + \sigma^2/2 dt = (\mu + \sigma^2/2) dt + \sigma dB_t. $$ 由於上述考慮，我們有 $ E[S_t/S_0] = \exp(\mu t + \sigma^2/2 t) $ 和變異數 $ (\exp(\sigma^2 t)-1)\exp(2\mu t+\sigma^2 t) $ . 因此漂移 $ \mu $ 在日誌返回的過程中給你一個漂移 $ \mu + \sigma^2/2 $ 在幾何回報的過程中。現在您可以定義 $ \tilde{\mu} = \mu + \sigma^2/2 $ 並用 $ \tilde{\mu} $ 那麼你有漂移 $ \tilde{\mu} $ 對於幾何回報和 $ \tilde{\mu} - \sigma^2/2 $ 對於日誌返回。 編輯：寫完這篇文章後，我在網上找到了 Karl Sigman 的精彩講稿。