收入規模分佈的pdf/CDF對應的qdf/quantile函式的維數分析
我之前在 Stackoverflow 上發布了一個非常相似的問題，但根據那裡的回复，我認為我的問題的真正核心是經濟問題。我將給出一個冗長的介紹，主要是為了區分我所知道的（介紹）和我所要求的（最後 3 段，如果你喜歡，請跳到它）。
假設我有一個代表收入規模分佈的pdf
f(x)或 CDF 。F(x)收入是每單位時間流向特定個人的資金流（美元或某種貨幣單位）。因此，我認為正確的計量單位是美元/人年。為了使機率以無量綱單位出現，f(x) 必須以每美元的人年來衡量。對 x 進行積分也產生了 CDF 的無量綱份額，因為積分的單位是被積函式 的單位的乘積
y = f(x)，這里以人年/美元衡量，而微分的dx單位，這里以美元/人年衡量.因此，積分
xf(x)將單位放在以美元/人年為單位的平均收入上；這似乎是合理的。據此，我得出了關於分位數密度函式
q(y)、分位數函式Q(y)和積分yq(y)dy（即 1 階偏矩函式的反函式模擬）的單位和解釋的結論，如果正確將對我非常有幫助，但我對此信心有限。如果有人能證實或否認這些結論，我將不勝感激，也許是在一些討論/解釋分佈函式背景下的維度分析解釋的背景下。我相信 y 軸和 q(y) 的單位必然與之前的 pdf/CDF 分析中的相同，即 y 值仍然以人年/美元來衡量，x = q(y) 仍然以美元/人年衡量。這意味著 q(y) 通常在某個區間上的積分，特別是 Q(y)（它等於 q(y) 從 0 到 y 的積分）都以無單位份額來衡量。但是**（不確定的解釋 #1）**
F(x)是總收入的無單位份額，而 Q(y) 是一年的總收入的無單位份額。最後，**（不確定的解釋#2）**這將以
yq(y)dy人年/美元為單位進行積分。但我無法解釋這一點。相應的 x 數量是人均年收入的平均值（或者對於有界 x，部分平均值）。所以這將是平均人年數——為什麼呢？一美元？為了平均收入？考慮這個函式的截斷版本，其中
yq(y)dy從零到的積分q*除以F(q*)。x 的相應截斷函式為收入為 x* 或更少的人提供平均值，$/人年似乎是平均收入的合理單位。但我希望 y 版本以人數或人年數出現，對應於同一時間間隔內人年的份額，以及分母中的“每美元”，我需要製作CDF(x) 和 Q(y) 無單位，對我來說沒有明顯的解釋。
你的隨機變數是 $ X $ =“以美元衡量的人均年收入”。所以 $ X $ 是一個實值函式。正如 OP 所寫，它的域通常未指定，而它的範圍以“每人每年的美元”來衡量。
的密度和分佈 (pdf/cdf) 函式 $ X $ ，說 $ f_X,F_X $ 有作為他們的領域的範圍 $ X $ . 所以域_ $ f_X,F_X $ 是一個帶有“美元/人年”計量單位的集合。
嚴格的維度分析，實際上我們可以說密度必須以“每美元的人年”來衡量（不管這是否有意義）。
所以期望值是積分 $ \int_0^{\infty} x f_X(x) dx $ 一直以“美元”作為計量單位（我只是假設 $ X $ 是非負數），應用 OP 規定的規則（一個單位是另一個單位的倒數，剩下的第三個單位又是“每人年的美元”）。
此外，作為cdf的積分 $ F_x(x) = \int_0^x f_X(s) ds $ 具有“無量綱”的範圍，因為機率是一種相對度量。
（題外話：注意，根據定義，隨機變數的分佈函式衡量隨機變數小於或等於門檻值的機率， $ F_X(x): = Prob(X \leq x) $ . 需要額外的假設來“翻譯”這個機率也代表“收入份額”，這意味著我猜“人均收入低於或等於的人口百分比 $ x $ “)
轉到分位數函式，它被定義為分佈函式的逆函式（廣義逆函式涵蓋所有情況，但讓我們保持簡單）。相反，它使用範圍作為其域 $ F_X(x) $ , 所以域 $ Q(p) $ 以“機率”為計量單位，其範圍是 $ F_X $ . 和域 $ F_x $ 是范圍 $ X $ : Quantile 函式的範圍與 $ X $ 所以它也以“每人年的美元”來衡量（即它的範圍是“每人年的美元”計量單位）。
的導數 $ Q(p) $ “, $ q(p) = dQ(p)/dp $ 具有相同的計量單位 $ Q(p) $ ，而積分 $ \int_0^1 pq(p)dp $ 也以“每人每年的美元”來衡量。