在給定增長率和流失率的情況下估計實現的收益
如果可以估計投資組合的價值將增長 $ g $ % 每年，並且可以估計大約 $ c $ 該投資組合的 % 每年都會流失（出售和再投資），如何計算每年在流失中實現的預期收益？
顯然，即使投資組合中的每項投資都以精確的速度增長 $ g $ % 每年，在任何給定年份實現的實際收益將取決於 $ c $ 投資組合的百分比被清算（尤其是持有/增長的時間）。
是否有一種統計上合理的方法來解決這個問題，或者是否需要進一步的假設？是否有助於增加（或什至用流失假設替換）進一步假設，即平均預期投資將持有 $ y $ 年，也許有一些標準偏差 $ \sigma $ ?
假設我們從 $ t=0 $ 和 $ P_0 $ ， 有 $ t=1…N $ 隨後的期間，以及在每個期末 $ t $ 一個（完全任意的）部分 $ c $ 我們的投資組合 $ P_t $ 被攪動並且 $ (1-c) $ 保持不變。 $ P $ 在每個時期增長一個因素 $ (1+g) $ : $ P_t = P_{t-1}(1+g) $ .
我們可以分區 $ P_t $ 分成子投資組合，每個都有自己的流失歷史，如：
$ P_1 = P_0(1+g) \equiv P_0(1+g)(c+(1-c)) $ $ P_2=P_1(1+g)\equiv P_0(1+g)^2(c(1-c)+(1-c)^2+c^2+(1-c)c) $
期間 $ t=N $ ， 我們將有 $ 2^N $ 這樣的子投資組合一起形成 $ P_N $ ，每個代表一個特定的流失/不流失歷史 $ t=1…N $ .
$ P_N \equiv P_0(1+g)^N((1-c)^N+(1-c)^{N-1}c+(1-c)^{N-2}c^2+\cdots+c^N) $
現在讓我們將自己置於期末 $ T=N+1 $ 讓我們考慮第三項：
- $ c^N $ 是的一部分 $ P $ 在之前的每個時期都被攪動了。這個特定的子投資組合在這個階段僅持有 1 個時期（因為它上次在 $ t=N $ ), 累積增長 $ g $ .
- 相似地 $ (1-c)^N $ 是從未流失的部分，持有N+1期，累計增長 $ (1+g)^{N+1}-1 $ .
- 最後，中間的“流失歷史”比少數的要多得多 $ (1-c)^{N-k}c^k $ 我已經寫到這裡了。例如，大量子投資組合已被攪動 $ k $ 有時，有些是第一次 $ k $ 期間，有些在最後 $ k $ 時期，以及更多 $ k $ 期間。事實上有 $ \binom{N}{k} $ 這樣的子投資組合，對於每個 $ k=0…N $ （這涵蓋 $ c^N $ 和 $ (1-c)^N $ 以上）。
然後我們重寫 $ P_N \equiv P_0(1+g)^N(\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}c^k(1-c)^{N-k}) $ .
讓我們看看 $ \binom{N}{k}c^k(1-c)^{N-k} $ , 所有被攪動的子投資組合 $ k $ 次：很明顯，有些人最後被攪動了 $ t=N $ 並持有 1 個時期，其中一些在此之前已被攪動，但最早可能最後攪動的此類子投資組合是 $ t=k $ . 如果我們打電話 $ N-h $ 子投資組合的最後流失日期 $ k $ 次，那麼 $ h\in[0,N-k] $ .
我們現在可以通過以下方式重新排列這些子投資組合 $ h $ ： 有 $ \binom{N-h-1}{k-1} $ 子投資組合流失 $ k $ 最後流失日期為的時間 $ t=N-h $ ，並且由於 $ h\in[0,N-k] $ ，我們可以重寫：
$ \binom{N}{k}\equiv \sum_{h=0}^{N-k}\binom{N-h-1}{k-1} $
以下是
$ P_N \equiv P_0(1+g)^N(\sum_{k=1}^{N}\sum_{h=0}^{N-k}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}+(1-c)^N) $
從未攪拌過的那部分的最後一項，現在我們可以重新排列總和以顯示
$ P_N \equiv P_0(1+g)^N(\sum_{h=0}^{N-1}\sum_{k=1}^{N-h}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}+(1-c)^N) $
所以有一小部分 $ \sum_{k=1}^{N-h}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k} $ 最後攪動的投資組合的 $ t=N-h $ , 持有期為 $ h+1 $ 從 $ T=N+1 $ 累積增長 $ G_h=(1+g)^{h+1}-1 $ （這是您的資本收益）。
還有一小部分 $ (1-c)^N $ 已舉行 $ T+1 $ 期間，並且從未攪動過。
我們有 $ \mathbb{E}(C_{N+1})=\sum_{h=0}^{N-1}G_h\sum_{k=1}^{N-h}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}+G_N(1-c)^N $ .
$ \mathbb{E}(C_{N+1}) $ 是我們投資組合中任何隨機抽樣部分的預期資本收益 $ T=N+1 $ 尤其是那部分 $ c $ 我們在那一天流失。
現在來看一些數字範例：
- $ N=10, g=3%, c=0%, \mathbb{E}(C_{N+1})= 38.42% = (1+3%)^{11} $
- $ N=10, g=3%, c=100%, \mathbb{E}(C_{N+1})=3% $
- $ N=10, g=3%, c=10%, \mathbb{E}(C_{N+1})=23.24% $
是的，有很好的方法來解決這個問題。而且，根據所需的現實主義水平和您的目標，您需要進行更多思考才能設計出可接受的策略。
鳥瞰圖
讓我們首先假設每種資產在每個時期確實具有完全相同的增長。即使在這種最簡單的情況下，您也可以遵循不同的策略來實現利潤。兩種可能的（極端）策略是
- 始終首先出售“年輕”資產
- 始終首先出售“舊”資產。
策略 1) 將導致早期的低稅收收益，而策略 2) 將導致早期的高稅收。但請注意，在策略 1) 中，您的未徵稅但應計利潤將比策略 2) 增加得多。除非你想永遠執行你的基金，推動越來越高的未實現收益，否則你所有的應計利潤都必須在某個時間點實現。這意味著無論您採取何種策略，隨著時間的推移，它將主要影響稅收的出現。也就是說，這會對累進稅率和非零貨幣時間價值產生很大影響。即使在這兩個簡單策略之間做出決定，也需要將這兩個項目（折扣率和稅級）納入您的模型中。
兩種策略的詳細資訊
當您假設您重新開始時，即投資組合中的所有資產的年齡為零時，為上述兩種簡單策略開發納稅並不困難。在年輕資產優先策略中，您的銷售完全相同 $ c $ 每個時期的資產百分比。這意味著您準確地意識到每個時期 $ c g $ 而其餘的 $ (1 - c) $ 投資組合的一部分將繼續愉快地積累，直到最後清算的那一天。
舊資產優先的情況只是稍微複雜一些。讓我們為簡單起見假設 $ c=0.1 $ . 然後您將在前十個時期出售年齡資產 $ 1, 2, \ldots, 10 $ 直到出售最初在您的投資組合中的所有資產為止。從那時起，您將只出售年齡資產 $ 10 $ 有相應的應稅收益。
在這兩種極端方法之間存在隨機策略，您在哪裡選擇 $ c $ 隨機資產的百分比。對於每項資產，這意味著它在任何時期都有可能被出售 $ c $ . 然後，您可以使用 Excel 計算來自同類群組的資產留在您的投資組合中的機率加權時間。（再次假設 10%，第一個時期出售的 10% 資產為 1 個時期，第二個時期出售的 9% = 10% * (1 - 10%) 資產為 2 個時期，依此類推。）通過這個計算，您可以驗證預期的生存時間以及隨機出售時資產的平均年齡是 $ \frac{1}{c} $ . 這與舊資產優先策略完全相同，一旦在所有初始資產被出售後達到穩定狀態。
非恆定增益
當然，真正的樂趣和優化空間只有在您留下不切實際的假設（例如持續收益）時才開始。如果你的收益是不穩定的，那麼你的機會是無窮無盡的，因為你可以在虧損中獲得淨收益，做各種各樣的事情。當然，有必要詳細說明回報（和所有其他）假設。然後可以通過蒙特卡羅模擬對此類策略進行建模和優化。