變異數是否僅在對數回報下相加？
似乎無法通過思考來弄清楚這一點。假設簡單的返回 $ R_t=P_{t+1}/P_t -1 $ 假定為 $ R_t \sim iid N(0,\sigma^2) $ . 因此，兩個時期的回報將是 $ (1+R_t)(1+R_{t+1})-1 $ . 兩期收益率的變異數是否等於 $ 2\sigma^2 + \sigma^4 $ ?
$$ Var((1+R_t)(1+R_{t+1})-1)=Var(1+R_{t+1}+R_t+R_tR_{t+1}) $$ $$ = 2\sigma^2 +Var(R_tR_{t+1}) = 2\sigma^2 + \sigma^4 $$ 因為兩個獨立隨機變數乘積的變異數只是兩個隨機變數變異數的乘積（與 $ \mu=0 $ ). 在對數收益下，收益成為加法，兩個時期將是 $ log(1+R_t)+log(1+R_{t+1}) $ 變異數等於
$$ Var(log(1+R_t)+log(1+R_{t+1})) = Var(log(1+R_t))+Var(log(1+R_{t+1}))=\sigma^2 + \sigma^2 $$ 我在這裡錯過了什麼嗎？
如果您使用對數回報，那麼 n 個週期的回報確實是每個子週期的回報之和（例如，10 天回報是 10 個 1 天回報的總和）
$$ R = \sum_{i=1}^n r_i. $$ 如果我們現在看看變異數 $ R $ 然後我們得到 $$ VAR(R) = VAR( \sum_{i=1}^n r_i ), $$ 如果我們假設收益不相關，那麼我們得到 $$ VAR(R) = \sum_{i=1}^n VAR(r_i ). $$ 如果我們最終假設 $ VAR(r_i) = \sigma^2 $ ，即每天都一樣，那麼我們得到 $$ VAR(R) = n \sigma^2. $$ 編輯：在你上面的等式中，你有表達 $ VAR(R_tR_{t+1}) $ . 這不是 （！） $ \sigma^4 $ 作為 $ R_t $ 和 $ R_{t+1} $ 通常是 2 個不同的隨機變數。它們可能具有相同的變異數 $ \sigma^2 $ 但這並不意味著 $ VAR(R_tR_{t+1}) = E[R_t^4] $ .
這個表達式是：
$$ VAR(R_tR_{t+1}) = E[(R_tR_{t+1})^2]-E[R_tR_{t+1}]^2, $$ 和 $ E[R_tR_{t+1}] $ 與滯後一自相關有關。