該問題參考了著名的羅斯（Ross，1976）論文，其中推導了資產定價理論。

在 APT 中，資產的回報 $ i $ 由線性因子模型驅動：

$$ R_i = \alpha_i + \sum_{j=1}^m \beta_i^j \mathcal{F}_j + \varepsilon_i $$ 在哪裡 $ \alpha_i $ 是截距， $ \beta_i^j $ 是資產的敏感性 $ i $ 考慮因素 $ j $ （因子載入）和 $ \mathcal{F}_j $ 是因子的值 $ j $ . $ \varepsilon_i $ 是資產的異質風險 $ i $ . 現在我想得出的是（ $ R_f $ 是無風險利率）

$$ \pi_i := \mathbb{E} R_i - R_f = \sum_{j=1}^m\beta_i^j \pi(\mathcal{F}_j) $$ 在哪裡 $ \pi(\mathcal{F}_j) = \mathbb{E}\mathcal{F}_j - R_f $ . 顧名思義，這是通過無套利論證完成的，結果意味著資產風險溢價由因子風險溢價通過因子載荷決定 $ \beta_i^j $ .

在本文中，作者假設對於套利投資組合 $ x $ 有資產權重 $ x_i $ , $ \sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i \approx 0 $ 根據大數定律，如果 $ \varepsilon_i $ 是“足夠獨立以使大數定律成立”。翻譯過來，這基本上意味著套利投資組合沒有表現出任何實質性的特殊風險。

然後，作者繼續認為套利投資組合的淨因子敞口應該是 $ 0 $ : $ \sum_{i=1}^n x_i \beta_i^j = 0 $ 並且套利投資組合不使用任何資金 $ \sum_{i=1}^nx_i = 0 $ .

然後他繼續推導（最後是線性代數參數，最後是 APT 方程）。

問題

問題是作者為什麼需要大數定律？這不是隱含地假設 $ n $ 資產大嗎？假設套利投資組合不是更好嗎 $ \sum_{i=1}^n x_i\varepsilon_i=0 $ ?

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我認為答案在某種程度上與以下問題相關：如果因子風險溢價和資產風險溢價之間的線性關係不成立，這是否意味著存在套利投資組合？（在某種意義上說 $ \sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i=0 $ )

（問題來自本文件的附錄 A1此處，作者未提供有關此內容的詳細資訊。）

在小樣本中，沒有理由 $ x’ \epsilon $ 將是 0。事實上，沒有真正的原因 $ \epsilon $ 應該是獨立的。您假設回報的線性規範這一事實意味著您在某種程度上做出了線性回歸的假設。通過漸近分散異質風險來證明與自變數不相關的錯誤是合理的。

編輯：一個有趣的資源也是 Jay Shankens論文。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/16189