鞅、隨機遊走和理性預期
這些概念之間有什麼聯繫？
例如讓我們看一個過程 $ Z_n $ 在隨機遊走之後，我會說：
- 這是一個鞅，因為我對明天的期望，即 n+1 只取決於今天
- 如果我們假設一個有理性預期的人，他會假設明天的預測就是今天
所以換句話說，理性個體的預測遵循鞅？
我不確定區別，因為一個概念用於金融，另一個用於經濟學，但在我看來它們基本相同。
最後，我在範例中看到隨機遊走意味著鞅，這總是正確的嗎？鞅是否意味著隨機遊走？
所有概念都在經濟學中使用。定義（未以完全嚴格的方式說明）：
**鞅：**一個隨機過程 $ {X_t} $ 當且僅當它成立時才被稱為“馬丁格爾”
$$ E(X_{t+1} \mid X_t,X_{t-1},…) = X_t \tag{1} $$ 有“sub-martingale”、“super-martingale”等副檔名，但基本定義如上
**隨機遊走：**一個隨機過程 $ {X_t} $ 被稱為“隨機遊走”當且僅當
$$ X_{t+1} = X_t + u_{t+1}, ;;;u_t \sim \text{White Noise} \tag{2} $$ 您可以查找“白雜訊”的定義。
這裡也有衍生產品（“隨機漂移”等）。
評論：因此隨機遊走是鞅的（一個例子），但鞅並不意味著隨機遊走，前者是一個更廣泛的概念。
理性期望：最初，理性期望假設指出，對聚合隨機變數的某個未知（通常是未來）值的總體期望（另請參見有關此事的這篇文章），等於條件期望（在嚴格的數學意義上）變數“在形成期望時給定所有相關資訊
$$ X^e_{t+k|t} = E(X_{t+k}\mid I_t) \tag{3} $$ 註釋：請注意，在鞅的情況下，條件集僅包含過程的過去值。在 REH 的情況下，條件集包含“任何可用的和被認為相關的”。
在代表性代理模型中，為了內部方法論的一致性，我們被迫在個人層面應用理性期望假設（關於資訊的可用性和個人的資訊處理限制提出了各種有效反對意見的東西） .
**那麼個人的預測是否遵循鞅？**讓我們只檢查一步超前的預測：我們的隨機過程是
$$ {X^e_{t+1|t},,X^e_{t+2|t+1},…} = {E(X_{t+1}\mid I_t),,E(X_{t+2}\mid I_{t+1}),…} \tag{4} $$ 為了獲得鞅屬性，它必須持有
$$ E[X^e_{t+1|t} \mid X^e_{t|t-1}, X^e_{t-1|t-2},…] = ?; X^e_{t|t-1} \tag{5} $$ （我最後會說出 eq 的期望是什麼。 $ (5) $ 描述） $$ E[X^e_{t+1|t} \mid X^e_{t|t-1}, X^e_{t-1|t-2},…] = E[E(X_{t+1}\mid I_t) \mid {E(X_{t}\mid I_{t-1}), E(X_{t-1}\mid I_{t-2}),…}] $$ 如前所述，外部條件集小於內部條件集。根據條件期望的迭代期望定律（塔屬性），我們得到
$$ E[E(X_{t+1}\mid I_t) \mid {E(X_{t}\mid I_{t-1}), E(X_{t-1}\mid I_{t-2}),…}] = E[X_{t+1} \mid {E(X_{t}\mid I_{t-1}), E(X_{t-1}\mid I_{t-2}),…}] \tag{6} $$ 的右側 $ (6) $ 不一定等於右邊 $ (5) $ ，所以我們不能說理性預期假設下的一步超前預測的隨機過程是鞅。
方程 $ (5) $ 描述以下情況： 站在經期 $ t-1 $ 我們形成期望 $ X^e_{t|t-1} $ ，以及關於我們後續期望的“我們能說的最好的”（均方誤差意義上的最好） $ X^e_{t+1|t} $ 是它將等於 $ X^e_{t|t-1} $ . 這（有時）被稱為“靜態期望”，但要小心，因為該術語在文獻中具有兩種完全不同的含義：對於某些作者來說，eq。 $ (5) $ 表示“靜態”期望，即期望本身的價值保持（或預計保持）不變。但是你經常會發現作者寫了“靜態期望”這個詞並且意思完全不同，即 $ E(X_{t+1}\mid I_t) = X_t $ （“是什麼，將是”）。這又看起來像鞅屬性，但它充其量只是它的擴展概念（因為條件集更大），並且無論如何，就實際過程而言，它是類似鞅的屬性 $ {X_t} $ ，而不是預測過程 $ {X^e_{t+1|t}} $ .