夏普比率的正態假設
我讀過夏普比率強加了一個正態假設，但我看不出如何。標準偏差是任何類型分佈的統計量。有人有想法麼？
您可以計算具有任何收益分佈的投資組合的夏普比率是正確的。問題是比較非正態分佈投資組合的夏普比率（實際上幾乎是任何投資組合）。舉一個極端的例子。考慮兩個投資組合，其回報超過基準。
- 50% 機率 10% 回報， 50% 機率 20% 回報
- 50% 機率 10% 回報， 50% 機率 100% 回報
夏普比率是
$$
- \frac{0.5 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 0.2}{\sqrt{0.5 (0.1 - 0.15)^2 + 0.5 (0.2 - 0.15)^2}} = 3 \
- \frac{0.5 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 1}{\sqrt{0.5 (0.1 - 0.55)^2 + 0.5 (1 - 0.55)^2}} \approx 1.22 $$ 投資組合 2 明顯優於投資組合 1，但其夏普比率要低得多。
夏普比率只是學生 t 檢驗的轉換，它是 t 檢驗的一個特例，因此使用 t 檢驗的所有要求都適用於夏普比率的任何使用。
統計量是使用樣本數據的*任何函式。*夏普比率是一個統計數據。雖然它沒有明確假設正態性，但它確實假設存在二階矩，如果數據生成函式具有二階矩但不接近正態分佈且樣本量較小，則在小樣本中統計量較差。
自 1963 年 Mandelbrot 以來，人們一直認為收益的分佈缺乏均值，因此缺乏變異數或標準差。我寫了一份證明，證明我即將送出出版的股票不存在標準偏差。並非所有統計分佈都有標準偏差。
我的論點的要點是，收益是未來值除以現值減一。在馬科維茨假設下，許多買家和賣家以及處於均衡狀態的市場的邏輯市場行為是讓參與者競標他們的期望。根據中心極限定理，隨著買賣雙方的數量變大，一組期望的分佈必須收斂於正態。這意味著分佈是兩個正態分佈的比率，即
$$ \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{\gamma^2+(r-\mu)^2}. $$ 如果您對分佈進行期望，您會發現既不存在均值也不存在變異數。這個分佈就是柯西分佈。由於責任限制、流動性限制、破產和合併，它並不能真正解釋回報，但它解釋了巨大的不確定性。您必須擺脫 Markowitz 假設才能獲得真實的分佈。NIST 就是這樣描述柯西分佈的。
柯西分佈作為病理案例的一個例子很重要。柯西分佈看起來類似於正態分佈。但是，它們的尾巴要重得多。在研究假設正態性的假設檢驗時，查看檢驗如何對來自柯西分佈的數據執行是一個很好的指標，可以很好地表明檢驗對重尾偏離正態性的敏感程度。同樣，它可以很好地檢查旨在在各種分佈假設下執行良好的穩健技術。柯西分佈的均值和標準差未定義。這樣做的實際意義是，收集 1,000 個數據點並不能比單個點更準確地估計平均值和標準差。
然而，一個實際問題是夏普比率不存在。不難證明，隨著樣本量趨於無窮大，t 檢驗將完全低效。
因此，要準確回答您的問題，並非所有分佈都存在標準偏差，並且雖然沒有嚴格的正態性假設，但如果正態性成立，它只會對小樣本有效。