投資組合理論：為什麼要在減少估計誤差上投入這麼多精力？
在 MPT 中，研究人員投入了大量精力來開發方法和技術來處理估計均值、變異數和共變異數的較差性能。例如，有收縮估計、隨機矩陣理論或解決優化約束的方法。其中一些非常複雜和復雜，進而需要過多的數據處理。
同時，所有這些估計問題都源於資產收益是獨立同分佈且正態分佈的假設。已經多次表明，這些假設與經驗證據相矛盾。研究人員似乎對如何對資產收益的機率分佈進行分類並不一致。有人提到分類是 $ \alpha $ -除了正態分佈之外的穩定分佈，其他人假設將資產收益分類為具有有限二階矩的非正態分佈。
我的問題是：為什麼研究人員不專注於開發更充分的資產回報分佈？我的意思是，處理估計錯誤對我來說似乎是從錯誤的角度解決問題。找到適當的資產收益機率分佈並開發實現這種分佈的模型不是更有希望嗎？與其糾正錯誤，不如從一開始就避免它們。我希望我沒有忽略什麼。但從我目前看到的情況來看，重點似乎是減少估計誤差。
我只是出於自己的興趣而問，因為我一直在想這個問題。看到上面提到的假設被應用是相當令人驚訝的，儘管它們已被證明是不充分的。
提前非常感謝，新的一年有一個良好的開始。
在 MPT 中，投資者在給定的事前變異數水平下最大化事前預期回報。回報的高斯性或獨立同分佈性不是要求。
問題是使用近期歷史的事後轉換來估計這些事前數量。您提到的許多複雜技術都試圖在存在肥尾和/或缺乏獨立同性的情況下提供事後估計的穩健性。
研究人員正確地 (imo) 得出結論，試圖辨識不斷變化的 10000 維分佈是徒勞的，因此嘗試只關注感興趣的數量是有意義的。
有兩種方法可以回答您的問題。一種是直接的，沒有深度，另一種是間接的，有很多深度。我將從間接的開始，因為它在金融或經濟學之外具有廣泛的應用，並且因為它應該作為對期刊編輯等的警告。此外，它涵蓋了除統計學家之外的每個人都忘記的統計領域。
儘管統計的概念相當古老，但統計領域卻是相當新的。它可能是所有領域中最新的或幾乎最新的。航空學比較老。遺傳學比較老。它提出了大量需要時間來解決的實際問題。它與如何將欄位定義為統計資訊有關。統計量是數據的任何函式。這意味著幾乎每個統計數據都是無用的，因為有無數的功能。
這導致了一個過程來決定保留哪些統計數據以及丟棄哪些統計數據。這產生了意想不到的結果。如果您發現由於您的理論而導致的估計不佳，那麼很有可能您做錯了。在為金融辯護的過程中，自曼德布洛特發表了第一篇對均值變異數金融的實證駁斥以來，它一直在為此苦苦掙扎。它試圖在 1960 年代解決它，但有幾件事阻礙了它。首先是使用打孔卡技術。即使 Eugene Fama 或 Mandelbrot 的工作是正確的，它也會導致需要數十年才能解決的問題。第二個是他們沒有理由是正確的。這些觀察背後沒有任何理論。
在尋找統計數據時，出乎意料的結果是所有貝氏統計數據都是可以接受的。這是令人驚訝的，因為它是用頻率論公理證明的。它還發現，所有其他統計數據在特定情況下或在極限情況下映射到貝氏度量的範圍內都是有效的。然而，它提供了一個測試。如果你可以隨機支配一個度量，那麼你就放棄那個度量。如果您正在尋找有效的準確測量值，那麼更深層次的事情正在發生，而您正在錯過它。
更直接的答案是，要使 Markowtiz 模型正確，收益分佈必須具有某些屬性。首先，首先需要有一個平均值才能有一個期望。大多數標準分佈都有平均值，但並非所有分佈都有。Cauchy 分佈和 Mandelbrot 文章的 Paretian 分佈一般都沒有。柯西分佈是
$$ \frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(x-\mu)^2}. $$ 第二個是如果存在均值，則需要存在共變異數矩陣。並非所有具有變異數的分佈都具有多元形式的共變異數。雙曲正割分佈就是一個例子。這是
$$ sech\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). $$ 已經嘗試在經驗金融中使用這兩種方法。如果這些分佈中的任何一個出現在概似函式中，那麼均值變異數金融是站不住腳的。前者是有問題的，因為您首先無法對您的回報形成預期。它們被一般求和定律排除在外。第二個有點微妙，因為如果第二個存在，則沒有任何資產可以是獨立的，但它們也不能共變。它們可以共同移動，但不能共同變化。它創造了一個非常醜陋的問題。
在https://ssrn.com/abstract=2828744有一篇論文得出了回報的分佈。它表明可以存在許多分佈。論文的邏輯是收益不是數據，而是價格是數據。返回是數據的轉換。特別是，它們是聯合分佈變數、現值和未來值的比率。分配取決於用於創建價格的規則。因此，由於拍賣過程不同，股票與古董的回報不同。
碰巧的是，股權證券的所有分佈都包括柯西分佈變換的某種混合。由於所涉及的分佈缺乏足夠的統計量，任何點估計器都必須失去資訊，因此對於投影問題（例如選擇分配）不存在非貝氏解決方案，如果可能，應避免用於推理問題。在你的真實假設是一個尖銳的零假設中，你無法避免它們，因為對於尖銳的零假設沒有好的貝氏解決方案。
可以在https://ssrn.com/abstract=2653151找到該論文的總體測試
也有論文取代期權定價方法和計量經濟學規則。創建最佳投資組合和擴展隨機演算的論文正在進行中。分配文件將在 3 月的西南金融協會會議上送出。
有些事情將不得不改變。例如，您不能假設 iid 變數。對索洛收斂的整個討論將不得不改變經濟學，因此整個討論資本、物質、金融和人力的核心。
很多焦點最終將集中在比例參數上。在柯西分佈中，沒有共變異數矩陣。如果你有一個單一的資產組合，表示 $ a $ ，那麼它可能有一個尺度參數 $ \gamma_a $ . 如果您切換到兩個資產組合，您不會得到兩個尺度參數，更不用說共變異數樣式矩陣了。相反，您會得到一個新的比例參數 $ \gamma_{ab} $ . 如果你喜歡並使用向量過程，所有向量將共同共享一個尺度參數 $ \gamma_v $ . 取對數會將您帶到雙曲正割分佈，因此沒有增益。它也沒有共變異數矩陣，但 OLS 有。OLS 將測量不存在的東西。
頭痛才剛剛開始。