聚集下的偏度和峰度
回報具有非零偏度和過度峰度。如果這些資產在時間上聚合在一起，由於大數定律，兩者都會消失。確切地說，如果我們假設 IID 返回偏度與 $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ 和峰度 $ \frac{1}{n} $ .
我對上述陳述的簡明、清晰和公開可訪問的證明感興趣，最好適用於所有更高的時刻。
這個問題的靈感來自Richard 提出的這個問題，該問題除其他外涉及時間聚合下較高回報時刻的行為。我知道有兩篇論文可以回答這個問題。Hawawini (1980)是錯誤的，Hon-Shiang 和 Wingender (1989)是在付費牆後面，有點不可思議。
只是痛苦地清楚，考慮回報的對數似乎才有意義，即 $ X=\log (1+\frac r{100}) $ 對於一個簡單的回報 $ r% $ 在任意時期內，因為這是在時間上匯總收益時的總和。**累積量**的一個基本性質是所有階累積量在卷積下都是相加的，可以在此處找到證明。
因此，如果 $ X_1 $ , $ X_2 $ , … $ X_n $ 是iid，那麼所有的累積量
$$ Y_n = \sum_{i=1}^nX_i $$線性縮放 $ n $ ， IE$$ \kappa_k(Y_n)=n\kappa_k(Y_1). $$ 但是，我懷疑您正在對該總和進行正規化，以便變異數（或波動性）隨著增加而保持不變 $ n $ . 因此，讓我們考慮$$ Z_n=\frac{Y_n}{\sqrt n}= \frac 1 {\sqrt n} \sum_{i=1}^nX_i. $$ 累積量的另一個基本性質是 $ k $ th cumulant 是有序的 $ k $ 至於規模。一起使用這兩個屬性，我們有$$ \kappa_k(Z_n)=\left(\frac 1 {\sqrt n}\right)^k\kappa_k(Y_n)=\left(\frac 1 {\sqrt n}\right)^kn\kappa_k(Y_1)=\frac {\kappa_k(Z_1)}{n^{(k-2)/2}}. $$ （別忘了 $ Z_1=Y_1=X_1 $ .) 現在我們可以顯示您所描述的統計量：
$$ \textrm{variance}=\kappa_2(Z_n)=\kappa_2(Z_1)\propto 1; $$ $$ \textrm{skewness} =\frac{\kappa_3(Z_n)}{\kappa_2(Z_n)^{3/2}}=\frac{\frac{1}{n^{1/2}}\kappa_3(Z_1)}{\kappa_2(Z_1)^{3/2}}\propto \frac 1{\sqrt n}; $$ $$ \textrm{ex. kurtosis}=\frac{\kappa_4(Z_n)}{\kappa_2(Z_n)^2}=\frac{\frac{1}{n}\kappa_4(Z_1)}{\kappa_2(Z_1)^{2}}\propto \frac 1 n. $$ 沒有理由不能將其擴展到更高的階數，儘管它根據累積量而不是矩更直接地計算出來。