兩個GBM之間的差異統計
如果我有兩個資產價格分別建模為幾何布朗運動。我該如何計算它們差異的預期統計數據？就像給定兩個過程的 sigmas 和 mus 以及它們的相關性一樣，該差/和的標準差是多少？
對於兩個 GBM 的情況，是否有解析解決方案？或者甚至有 n>2 的解決方案？
我已經用大量資產進行了模擬。但是否可以在不進行模擬的情況下進行跨市場價差或類似操作？
我真的認為這很容易用Google找到，但我做不到。
這當然沒有封閉式公式。然而，社區早就弄清楚了所有的分配時刻是什麼。一個常見的用途是將等效的對數正態（或有時移位的對數正態）分佈到投資組合（例如您的差異）。
這是最近的一篇文章，其中他們甚至為美式籃子期權執行二叉樹。
$$ \frac{dS_{1t}}{S_{1t}}=\mu_1 dt + \sigma_1 dW_{1t} \to S_{1t} = S_{1,t=0}e^{\int^t_0 \mu_1 - .5\sigma^2_1 ds + \int^t_0 \sigma_1dW_{1s}}\ \frac{dS_{2t}}{S_{2t}}=\mu_2 dt + \sigma_1 \rho dW_{1t} + \sigma_2 (1-\rho)dW_{2t} \to S_{2t} = S_{2,t=0}e^{\int^t_0 \mu_2 - .5 (1-\rho)^2\sigma_2^2 + \rho^2 \sigma_1^2 ds + \rho \int^t_0 \sigma_1dW_{1s} + (1-\rho)\int^t_0 \sigma_2dW_{2s}} \ S_{2t} - S_{1t} = S_{1,t=0}e^{\int^t_0 \mu_1 - .5\sigma^2_1 ds + \int^t_0 \sigma_1dW_{1s}} - S_{2,t=0}e^{\int^t_0 \mu_2 - .5 (1-\rho)^2\sigma_2^2 + \rho^2 \sigma_1^2 ds + \rho \int^t_0 \sigma_1dW_{1s} + (1-\rho)\int^t_0 \sigma_2dW_{2s}} $$ 如您所見，這不是 GBM，但您可以從此處計算預期值。