平均違約機率的匯總統計？
我有以下情況：
讓 $ X_i $ 表示某個機構發生的事件 $ i $ ‘defaults’（不要擔心這裡的預設值的確切定義，它與手頭的問題無關）。現在，我的樣本中有 10 個機構，我計算了以下機率：
$ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10}) $
$ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_{8} \cap X_{10} | X_{9}) $
$ \vdots $
$ P(X_2 \cap \cdots \cap X_{9} \cap X_{10} | X_{1}) $
換句話說，上述表達式表示在特定機構違約的情況下，“剩餘”機構的（聯合）違約機率。
為了計算這些機率，我知道描述整個系統的潛在機率分佈，即 $ p(x_1, x_2, \cdots. x_{10}) $ ，例如，計算機率 $ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10}) $ 只需要我找到 $ \frac{P(X_1 \cap \cdots \cap X_{10})}{P(X_{10})} $ 其中分母和分子都可以通過對機率密度函式的某些區域進行積分來計算 $ p(x_1, x_2, \cdots. x_{10}) $ .
我的問題是，我希望找到一個描述該系統平均違約機率的匯總值，例如 $ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10})= 0.4 $ , $ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_{8} \cap X_{10} | X_{9})= 0.3 $ 等等，我怎樣才能“結合”這個 $ 0.4 $ , $ 0.3 $ 等轉化為描述該系統“平均”違約機率的一個值？我的初始方法只是取每個條件機率的算術平均值，但這是數學上不正確的條件機率不可求和（除非它們以同一事件為條件）。那麼我可以使用任何其他措施/技術以某種方式將這些單一機率“組合”成“一個”值嗎？
讓我把它放在上下文中以使事情更加具體。
假設每個事件都是銀行違約的事件。預設情況下，我的意思是銀行的資產低於某個預先確定的門檻值。然後，假設我們有 10 家銀行的樣本。整個“系統”就是這 10 家銀行的宇宙。我想找出每家銀行的違約對系統其餘部分的“貢獻”是什麼，即假設一家銀行違約，這如何影響系統其餘部分的違約機率（即剩餘的 9銀行）。為此，我對這個銀行系統的基礎（聯合）資產分佈進行了建模。然後，計算機率 $ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_9 | X_{10}) $ 代表第 10 家銀行的違約對系統其餘部分的“貢獻”。相似地， $ P(X_1 \cap X_2 \cap \cdots \cap X_{8} \cap X_{10} | X_{9}) $ 代表第 9 家銀行違約對系統其餘部分的影響。現在，鑑於我已經計算了每家銀行違約的“貢獻”，我想找到一個值來描述每家銀行違約對系統其餘部分的平均“貢獻”。
我有一個想法，也許它對您有所幫助（即使它與您的原始設置有所不同）。假設您知道每家銀行的“受影響”預設機率 $ P(X_1<=C_1), \dots, P(X_n<=C_n) $ . （這裡我假設銀行 $ i $ 當它的值低於某個值時預設 $ C_i $ )
現在例如銀行 $ n $ 你可以計算 $ P(X_1<=C_1|X_n<=C_n), \dots, P(X_{n-1}<=C_{n-1}|X_{n}<=C_{n}) $ . 因此，違約機率以銀行違約為條件 $ n $ .
現在你可以計算 $ d_i(n)=P(X_1<=C_1|X_n<=C_n) - P(X_1<=C_1) $ 為了 $ i\in{1,\dots , n-1} $ 判斷違約機率是否 $ X_1 $ 違約後增加或減少 $ X_n $ .
現在添加一些權重 $ (w_1, \dots , w_{n-1}) $ 因為一家銀行的違約可能被視為比另一家銀行的違約影響更大。
最後通過採取 $ \sum_{i=1}^{n-1} w_i d_i(n) $ 你會得到一個數字，告訴你預設的 $ X_n $ “影響”系統。
在這裡，我還沒有考慮到所有的“相關資訊”（其中一些已經包含在機率中 $ P(X_1<=C_1|X_n<=C_n) $ ) 此資訊（或至少其中一些）也可以包含在權重中 $ w_i $ .
一種方法是計算違約銀行的平均數量，例如 $ X_i $ 預設。為此，您必須計算條件期望 $ \mathbb{E}[ \sum_{j=1,j\neq i}^{n} 1_{X_j<=C_j}|X_i<=C_i] $ .
環境
$ w_i=\mathbb{E}[ \sum_{j=1,j\neq i}^{n} 1_{X_j<=C_j}|X_i<=C_i] $
將為您提供包含有關銀行之間相關性的更多資訊的權重。