量化金融面試書中的兩個機率問題
一個月前我在數學堆棧交換中發布了這兩個問題，但無法得到答案，所以我在這裡發布並感謝您的建議:)
我正在閱讀一本名為 A Practical Guide to Quantitative Finance Interivew / Chapter 4 Probability Theory 的訪談書。所以我在這個數學部分提出了以下問題（我用粗體突出了我的疑問）：
- 假使，假設 $ X_1, X_2, … $ 和 $ X_n $ 是在 0 和 1 之間均勻分佈的獨立同分佈隨機變數。 $ S_n = X_1 + X_2 +….+X_n\leq 1 $ ?
問題 1 的解決方案：何時 $ n = 1, P(S_1\leq1) $ 為 1。如圖 4.6 所示
時 $ n=2 $ , 的機率 $ X_1+X_2\leq1 $ 只是下面的區域 $ X1+X2\leq1 $ 在邊長為 1 的正方形（三角形）內。所以 $ P(S_2\leq1) = 1/2 $ . 什麼時候 $ n=3 $ , 機率變成平面下的四面體 ABCD $ X_1+X_2+X_3\leq1 $ 在邊長為 1 的立方體內。四面體 ABCD 的體積為 $ 1/6 $ 所以 $ P(S_3\leq1) = 1/6 $ 現在我們可以猜測解決方案是 $ 1/n! $ 為了證明這一點，讓我們求助於歸納法。認為 $ P(S_n\leq1) = 1/n! $ . 我們需要證明 $ P(S_{n+1}\leq1) = 1/(n+1)! $ . 在這裡，我們可以通過條件化來使用機率。值的條件 $ X_{n+1} $ ， 我們有 $ P(S_{n+1}\leq1) = \int_0^1f(X_{n+1}))P(S_n\leq1-X_{n+1})dX_{n+1} $ ， 在哪裡 $ f(X_{n+1}) $ 是機率密度函式 $ X_{n+1} $ ， 所以 $ f(X_{n+1})=1 $ . 但是我們如何計算 $ P(S_n\leq1-X_{n+1}) $ ? 的案例 $ n=2,n=3 $ 為我們提供了一些線索。為了 $ S_n\leq1-X_{n+1} $ 代替 $ S_n\leq1 $ ，我們本質上需要將 n 維單純形的每個維度從 1 縮小到 $ 1-X_{n+1} $ . 所以它的音量應該是 $ (1-X_{n+1})^n/n! $ 代替 $ 1/n! $ . 所以我的疑問是：我不明白為什麼將 n 維單純形的每個維度從 1 縮小到 $ 1-X_{n+1} $ 給出結果 $ (1-X_{n+1})^n/n! $ ? 這背後的原因是什麼？
- 讓 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是獨立同分佈的隨機變數，均勻分佈在 0 和 1 之間， $ Y = min(X_1,X_2), Z = max(X_1,X_2) $ . 什麼是累積分佈函式 $ YZ $ :
問題2的解決方案：何時 $ 0\leq z\leq1, 0\leq y\leq z $ , $ F(y,z) $ 是圖4.7中的陰影區域**不知道為什麼截圖中的陰影區域？**代表
$ F(y,z) $
我認為在你的書中他們證明了 $ \mathbb{P}(S_n \leq a)=\frac{a^n}{n!} $ 和 $ 0 \leq a \leq 1 $ ， 和 $ a=1 $ 是特例。
$ n=0 $ 是微不足道的。通過歸納，我們假設 $ \mathbb{P}(S_n \leq y)=\frac{y^n}{n!} $ $ \forall y \in [0,1] $
讓 $ a \in [0,1] $ , 我們計算 $ \mathbb{P}(S_{n+1} \leq a) $ . 我們使用之間的獨立性 $ S_n $ 和 $ X_{n+1} $ :
$$ \mathbb{P}(S_{n+1} \leq a)=\mathbb{P}(S_{n}+X_{n+1} \leq a)=\int_{0}^{1}P(S_n+x \leq a)dx $$
請注意 $$ \int_{0}^{1}P(S_n+x \leq a)dx=\int_{0}^{a}P(S_n+x \leq a)dx+\int_{a}^{1}P(S_n+x \leq a)dx $$
$ S_n $ 幾乎肯定是正的，因此$$ \int_{a}^{1}P(S_n+x \leq a)dx=0 $$
如果 $ 0 \leq x \leq a $ ， 我們有 $ 0 \leq a-x \leq 1 $
$$ \int_{0}^{a}P(S_n+x \leq a)dx=\int_{0}^{a}P(S_n \leq a-x)dx=\int_{0}^{a}\frac{(a-x)^n}{n!}dx=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!} $$
至於問題2，我們知道聯合分佈 $ (X_1,X_2) $ , 它由密度函式給出 $ f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=1_{x_1 \in ]0,1[}1_{x_2 \in ]0,1[} $
$$ F(y,z)=P(Y \leq y, Z \leq z)=P(min(X_1,X_2) \leq y, max(X_1,X_2) \leq z)=\int_{{(x_1,x_2)\in ]0,1[^2 :min(x_1,x_2) \leq y, max(x_1,x_2) \leq z }}{dx_1dx_2} $$
號碼 $ \int_{{(x_1,x_2)\in ]0,1[^2 :min(x_1,x_2) \leq y, max(x_1,x_2) \leq z }}{dx_1dx_2} $ 是面積 $ {(x_1,x_2)\in ]0,1[^2 :min(x_1,x_2) \leq y, max(x_1,x_2) \leq z } $ ，即陰影區域。