為什麼第一主成分是市場組合的代理，還有哪些其他代理存在？
假設我有來自某個行業的大量股票。我想計算這個行業的市場組合。Beta是每隻股票與市場之間的共變異數。但是你如何計算市場組合呢？
我在幾篇論文中讀到，一個證券領域的市場投資組合的代理是權重等於相關矩陣的第一主成分的投資組合。
- 為什麼選擇 PCA？我擔心的是 PCA 正在最大化變異數，我不確定這是否正是我們想要的。
- 是否有其他方法可以選擇該投資組合的權重（除同等加權或價值加權外）？例如，我正在考慮最小化做多股票而做空所有其他股票的投資組合。或者我可以使用變異數分析。
是的，共變異數矩陣的第一個特徵向量的權重代表市場因素，也是系統風險（收益變化）的最大來源。
為什麼選擇 PCA？好吧，PCA 只是辨識最大程度地解釋系統變異數的特徵向量。事實證明，這就是“市場因素”——即證券作為一種資產類別同時上漲和下跌的趨勢。為什麼這是市場因素？如果您檢查直方圖中第一個特徵向量的權重（因子負載），您會發現它們通常都具有相同的符號，而對於任何後續特徵向量（代表部門或風格因素，即說系統風險的其他來源）。換句話說，從經驗上看，存在一個稱為股權風險溢價的占主導地位的系統因素來解釋收益的變異數。
為什麼在經驗上會出現這種情況？因為貨幣、財政政策、增長預期、政治風險、監管風險和其他因素等宏觀變數會影響所有股票的回報（儘管以證券貝塔係數衡量的程度不同）。
當您說“我擔心的是 PCA 正在使變異數最大化”時，更準確的說法是 PCA 正在辨識具有最高變異數的證券權重（即特徵向量）的線性組合，我們稱之為市場因素，因為權重一般都是同一個牌子。使用這些權重建構的投資組合 - 特徵投資組合 - 肯定會有很大的差異 - 事實上，與任何其他投資組合權重相比，它是產生最大波動性的投資組合權重集，因為它載入了系統風險的主要來源。（作為旁注，您可以通過辨識具有低特徵值的主成分來形成具有最小變異數的特徵組合。）
事實上，如果您根據“第一個特徵投資組合”的權重繪製投資組合的回報，您會看到回報與指數本身高度相關（但不等同於），如下圖 Marco Avellenada 的論文所示：
市場組合和上述市場因素之間存在區別。CAPM 意義上的“市場投資組合”是宇宙中所有資產的總和，根據定義，它是市值加權的（因為所有資產都是合計持有的）。Beta 試圖估計證券相對於以標準普爾或 MSCI 為典型代理的市場組合的共變異數。市場投資組合完全分散了特殊風險，因此其差異僅由系統風險敞口來解釋。概念上的聯繫是，Beta 是衡量系統風險或收益變化的常見來源的度量。因此，第一個特徵向量（辨識最大變異數資產的線性組合）有時被用作市場投資組合的代理。此外，給定證券的“
關於第二個問題，另一種選擇籃子權重的方法是市值加權，符合市場組合的理論定義。但是，尚不清楚您的目標是“選擇籃子的重量”。你正確地指出，你只是在辨識一個純粹暴露於系統性風險的投資組合，其中特殊風險被分散了。
