以人均變數表示的最大化方案 - Ramsey 模型
我有一個問題要通過以下程序最大化
$$ max\int_{0}^{\infty}\left{ u\left(C\right)+\beta S^{\chi}\right} e^{-\rho t}dt $$ 英石 $$ \dot{K}=AK-C $$ $$ \dot{S}=\left(1-S\right)S-\gamma AK $$ 在哪裡 $ K $ 是物質資本 $ S $ 是自然資本。所有大寫字母代表聚合變數。經濟享受自然資本作為一種積極的便利，自然資本受到物質資本積累的負面影響，比率為 $ \gamma $ .
我試圖用人均變數來表達這個程序，因為我希望有恆定的穩態值。請注意，人口增長速度 $ n $ . ( $ L(t)=L(0)e^{nt} $ 和 $ L(0)=1 $ ) 有形資本很容易。
我會有一些東西
$$ \dot{k}=Ak-nk-c $$ 然而，對於自然資本而言，自然資本的物流增長和舒適度 $ S^{\chi} $ 使問題複雜化。
有沒有辦法用人均變數來表達所有的最大化程序？如果您有一些提示或解決方案，我將不勝感激。或者如果不能用人均變數來表示，我很樂意知道原因。謝謝！
取自然資源的微分方程。我會寫 $ S \equiv sL $ 其中小寫字母是人均量級。所以
$$ \dot{S}=\left(1-S\right)S-\gamma AK $$ $$ \implies \frac {d(sL)}{dt} = (1-sL)sL - \gamma AkL $$ $$ \implies \dot sL + s\dot L = sL - s^2L^2 -\gamma AkL $$ 被除以 $ L $ 要得到
$$ \dot s + sn = s - s^2L -\gamma Ak $$ 並使用 $ L=e^{nt} $ 重新安排我們得到
$$ \dot s = (1-n) s - s^2e^{nt} -\gamma Ak $$ 將此設置為零，我們有一個二次多項式 $ s $
$$ \dot s = 0 \implies e^{nt}s^2 - (1-n) s + \gamma Ak=0 $$ 我們看到前導項隨著 $ t $ 增加。保持與零相等和恆定的唯一方法 $ s $ , 是如果 $ k $ 隨著時間的流逝而減少（這只是暫時的，因為 $ k $ 不能轉負）。
因此，對於這裡的所有變數，消費、資本和自然資源，你似乎不可能有一個“人均穩定狀態” 。很可能您可以將消費和資本保持在恆定的穩定狀態值，而人均自然資源至少耗盡至滅絕（但您必須證明這對於跨期效用最大化而言是最優的）。
如果假設人口規模 (N) 為 1 並且以 n=0 的速度增長，那麼它不能解決問題嗎？定義， $ s = S/N, k = K/N $
$ \dot{S} = S -S^2 -\gamma AK \implies \frac{\dot{s}}{s} = 1 - sN - \gamma A\frac{k}{s} \implies \frac{\dot{s}}{s} = 1 - s - \gamma A\frac{k}{s} $
我認為效用函式也是如此。