可解析的 Ramsey 模型：如何求解 ODE 以獲得最佳軌跡
在Brunner 和 Strulik (2002)中，作者聲稱，
$$ \begin{align} \dot c &= \frac{c}{\sigma}(\alpha k^{\alpha-1} - \delta - \rho)\ \dot k &= k^\alpha - \delta k - c \end{align} $$ 由下式給出（見 eq. 27）
$$ \begin{align} c(t) &= \left(1 - \frac{1}{\sigma}\right) k(t)^\alpha\ k(t) &= \left[\frac{1}{\delta\sigma} +\left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp(-\delta(1-\alpha)t) \right]^{\frac{1}{1-\alpha}} \end{align} $$ 如果 $ \alpha\delta\sigma = \delta + \rho $ . 我可以驗證解決方案 $ c(t) $ （參見例如這個執行緒）。但是我不確定如何解決 $ k(t) $ . 我們可以插 $ c(t) $ 進入 $ \dot k $ ， 這使 $$ \begin{align} \dot k &= \frac{1}{\sigma} k^\alpha - \delta k. \end{align} $$
- 一個人將如何進行？
解決方案
關於 Alecos 的答案，我們可以解決以下 ODE
$$ \begin{align} \dot z + (1-\alpha)\delta z = \frac{1-\alpha}{\sigma}. \end{align} $$ 一般解決方案由下式給出
$$ \begin{align} z(t) &= \frac{1}{\exp(\int (1-\alpha)\delta dt)}\left[\int \exp\left(\int (1-\alpha)\delta dt\right) \frac{1-\alpha}{\sigma} dt + C \right]\ &= \frac{1}{\delta\sigma} + C\exp((\alpha-1)\delta t). \end{align} $$ 和 $ z(0) $ 鑑於我們確定 $ C $
$$ \begin{align} C = z(0) - \frac{1}{\delta\sigma} \end{align} $$ 這會產生所需的結果
$$ \begin{align} z(t) &= \frac{1}{\delta\sigma} + \left(z(0) - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t) \ \Longleftrightarrow \quad k(t)^{1-\alpha} &= \frac{1}{\delta\sigma} + \left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t)\ \Longleftrightarrow \quad k(t) &= \left[\frac{1}{\delta\sigma} + \left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}. \end{align} $$
微分方程
$$ \dot k = \frac{1}{\sigma} k^\alpha - \delta k $$
具有伯努利方程的結構。我們通過以下轉換步驟來解決它：
**1)**乘以 $ k^{-\alpha} $ :
$$ k^{-\alpha}\dot k = \frac{1}{\sigma} - \delta k^{1-\alpha} \tag{1} $$
**2)**定義變數 $$ z \equiv k^{1-\alpha} \implies \dot z = (1-\alpha)k^{-a}\dot k \tag{2} $$
**3）**合併得到
$$ (1),(2) \implies \frac {1}{1-\alpha}\dot z = \frac{1}{\sigma} - \delta z $$
$$ \implies \dot z + (1-\alpha)\delta z = \frac {1-\alpha}{\sigma} $$
這是具有常數係數的標準一階微分方程。解決它然後反轉變數的變化以獲得結果。
**PS：**以上要求 $ k \neq 0 $ 無處不在，這是具有經濟意義的案例。