Smith (2006) 的“Ramsey 模型的近似解”中的伯努利變換
我試圖了解史密斯從 (1) 和 (2) 到 (6) 和 (8) 的方式。
誰能給我一個提示？謝謝！
眾所周知，人均消費動態 $ c $ 和資本 $ k $ 由以下一對微分方程確定：
$$ \begin{eqnarray} \dot{k} &=& k^\alpha - \delta k - c \tag{1} \ \frac{{\dot c}}{c} &=& \sigma(\alpha k^{\alpha - 1} - \delta - \rho) \tag{2} \end{eqnarray} $$ 一個辦法 方程組 (1)-(2) 是非常非線性的。為了接近一個解決方案，定義資本產出比（伯努利變換） $ z = k^{1-\alpha} $ 和消費資本比率 $ x = c/k $ . 使用這些轉換，系統可以重寫為
$$ \begin{eqnarray} \dot{z} &=& (1-\alpha)[1 - (\delta + x)z] \tag{6} \ \frac{{\dot x}}{x} &=& \frac{\sigma \alpha - 1}{z} + \delta (1 - \sigma) - \rho\sigma + x \tag{7} \end{eqnarray} $$ 伯努利變換轉換了資本積累方程$$ Equation (1) $$進入方程（6）中的線性微分方程，儘管它是非自治的。儘管進行了這種簡化，但該系統仍然不允許分析解決方案。等式（7）仍然是非線性的。 然而，假設 $ \sigma = 1/\alpha $ . 在這種情況下 $ z $ 從方程 (7) 中消失，系統變為遞歸：方程 (7) 簡化為
$$ \frac{\dot{x}}{x} = - \frac{\delta(1- \alpha) \rho}{\alpha} + x \tag{8} $$ 儘管 $ z $ 根據等式（6）演化，給定強製過程 $ x $ 在等式（8）中確定。這是一個簡單的、自主的邏輯方程。
如果 $ z = k^{1-\alpha} $ 然後
$$ \begin{eqnarray} \dot{z} &=& (1-\alpha)k^{1-\alpha-1}\dot{k} = (1-\alpha)k^{-\alpha} \dot{k} \ &=& (1-\alpha) k^{-\alpha} [k^{\alpha} - \delta k - c] \ &=& (1-\alpha) [1 - \delta k^{1-\alpha} - c k^{-\alpha}\color{blue}{(k/k)}] \ &=& (1-\alpha) [1 - \delta z - c(k^{1-\alpha})/k] \ &=& (1-\alpha) [1 - \delta z - x z] \end{eqnarray} $$ 我將離開 $ \dot{c}/c $ 讓你鍛煉