能否在 Solow-Swan 增長模型中推斷貼現率？
我試圖理解Solow-Swan 增長模型的含義，以保持簡單，不變的人口和不變的 Cobb-Douglas 技術以人均形式編寫為 $ y=k^{\alpha} (0<\alpha<1) $ . 給定初始資本存量，折舊率 $ \delta $ 以及對儲蓄率 s 的假設，我了解如何獲得 y、k 和人均消費 c 的時間路徑、穩態和黃金法則穩態的屬性。
問題：在這個模型中，是否有可能通過合理的附加假設來推斷貼現率的路徑 $ \rho $ ，因此利率 r，對應於 y、k 和 c 的給定可行時間路徑？
在 Solow-Swan 模型中，利率將由市場均衡決定：在競爭市場（以及規模報酬不變的技術）的基線假設下，我們得到熟悉的每期均衡關係
$$ f’(k) = r + \delta \tag{1} $$ 關於純時間偏好率，請考慮以下幾點：在這個模型中，儲蓄是產出的固定百分比。所以消耗也是產出的固定百分比：
$$ c = (1-s)f(k) \implies \dot c = (1-s)f’(k)\dot k \tag{2} $$ 同時我們也有
$$ \dot k = sf(k) - (n+\delta)k \tag{3} $$ 結合起來，我們有
$$ \dot c = (1-s)f’(k)\cdot [sf(k) - (n+\delta)k] $$ $$ = (1-s)f(k)f’(k)s - (1-s)f’(k)(n+\delta)k $$ 並使用先前的關係，
$$ \dot c = s(r+\delta)c - (1-s)(r+\delta)(n+\delta)k \tag{4} $$ 在具有消費者跨期效用最大化的“拉姆齊”模型中，我們得到了關係（為簡單起見，對數效用）
$$ \dot c = (r-\rho(t)) c \tag{5} $$ 請注意，我使純時間偏好率隨時間變化，當我們在 Ramsey 模型中檢查隨時間變化的偏好率時，情況確實如此（參見例如Barro, RJ (1999)。Ramsey 在新古典增長模型中遇到了 Laibson . 經濟學季刊，1125-1152）。
讓 Solow-Swan 模型中的消費者表現得像優化跨期方程的消費者 $ (4) $ 必須等價於方程 $ (5) $ 所以（現在使用時間變數來清楚地表明什麼是時變的，什麼不是時變的），我們在消除和重新排列之後得到
$$ s(r(t)+\delta)c(t) - (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)k(t) =[r(t)-\rho(t)] c(t) $$ $$ \implies \big[s(r(t)+\delta) - r(t)+\rho(t)]c(t) = (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)k(t) $$ $$ \implies \rho(t) = (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)\frac {k(t)}{c(t)} +r(t) - s[r(t)+\delta] $$ $$ \implies \rho(t) = (r(t)+\delta)(n+\delta)\frac {k(t)}{f(k(t))} +r(t) - s[r(t)+\delta] $$ 純時間偏好的一致率是內生的，並且在資本邊際產量遞減的情況下隨時間變化，並且只有在穩定狀態下才變得恆定。這種關係告訴我們什麼 $ \rho(t) $ 必須相等，以便優化消費者找到維持恆定儲蓄率的最佳選擇。
如果生產函式具有恆定的產出彈性（例如，Cobb-Douglas $ f(k) = Ak^a $ )，則上述簡化為
$$ \rho(t) = (n+\delta)a - s\delta + (1-s)r(t) $$ 或者
$$ \rho(t) = (n+\delta)a - \delta + (1-s)f’(k(t)) $$ 所以它仍然是隨時間變化的（在資本邊際產品不變的模型中它是不變的）。如果資本增加到其穩定狀態，我們看到純時間偏好的一致率應該隨著時間的推移而下降（這也是我們在 Ramsey 模型中得到的隨時間變化的結果 $ \rho $ ).
在穩態下，我們有 $ f’(k^*) = a(n+\delta)/s $ 所以
$$ \implies \rho^* = (n+\delta)a - \delta + \frac{(1-s)a(n+\delta)}{s} $$ $$ \implies \rho^* = \frac {an+ (a-s)\delta}{s} $$ 這是一個很好的，因為 $ a $ 是黃金法則儲蓄率。因此，為了模仿拉姆齊模型，我們應該設置 $ s<a $ 所以我們將處於黃金法則的左側（即使在 Solow 上下文中，設置 $ s >a $ 動態效率低下）。那麼穩態一致 $ \rho $ 肯定是積極的。
只是為了品嚐，設置 $ a=0.45, s=0.35, n=0.01, \delta =0.05 $ ， 要得到
$$ \rho^* \approx 0.027 $$ 離基準值不遠 $ \rho =0.02 $ .