嵌套在 CES 模型中的 Cobb-Douglas
假設，使用以下等式 $ Y=[((A_1L)^\alpha K^\beta)^\sigma+ (A_2X^\gamma)^\sigma]^{1/\sigma} $ ，我們退出（獲得）進化 $ A_1 $ & $ A_2 $ . 我們能解釋一下嗎 $ A_1 $ 作為節省勞動力的技術變革指標，因為它增加了模型中的勞動力？
把你的功能想像成
$$ Y=[A_1Q^\sigma+ A_2X^\sigma]^{1/\sigma} $$ 在哪裡 $ Q=L^\alpha K^\beta $ （我刪除了不必要的位，例如 $ \gamma $ 和指數 $ A_i $ ）。這是一個標準的 CES，其中最佳使用 $ Q $ 和 $ X $ 取決於 $ \frac{A_1}{A_2} $ 和 $ \sigma $ .
對於相對較低的替代（ $ \sigma<0 $ )，增加 $ A_1 $ （保持要素價格固定）意味著企業利用要素生產率的額外增加 $ Q $ 少用多用 $ X $ . 自從 $ A_1 $ 對應於 Hick 中性變化 $ Q $ ，您將使用捆綁包 $ Q $ 具有相同的首字母 $ K/L $ 比變化前 $ A_1 $ . 因此，您將減少兩者 $ K $ 和 $ L $ . 結果，增加了 $ A_1 $ 可以被認為是節省勞動力的技術變革 $ X $ ，並且是絕對值（儘管注意 $ K/L $ 保持不變）。
反之亦然，如果 $ 0<\sigma \leq 1 $ ，即增加 $ A_1 $ 導致更多的使用 $ Q $ 關係到 $ X $ ，從而擴大使用 $ L $ 和 $ K $ .
同時，在中間情況下（ $ \sigma=0 $ )，函式折疊為Codd-Douglas：
$$ Y = \left(L^\alpha K^\beta\right)^{\phi} X^{1-\phi} $$ 在哪裡 $ \phi = \frac{A_1}{A_1 + A_2} $ . 這裡有一個變化 $ A_1 $ 不影響 K/L 比率，儘管它確實會影響關於以下方面的最佳比率 $ X $ . 但通常的技術變化是作為一些變化 $ A $ 而不是因素的彈性，所以這種情況與上述情況不能很好地嵌套。我認為這可能是因為原始函式未正確規範化。這是，條款 $ A_1 $ 和 $ A_2 $ 不要加起來等於一，鑑於您最初假設規模收益不變，這是必要的。