擴大產品種類 - Grossman & Helpman 1991
考慮 Grossman & Helpman (1991) 的擴大產品種類模型，給定中間部門的均衡價格等於 $ w/\alpha $ ，作者如何得到品牌運營利潤的以下結果？
$ \pi = \frac{1-\alpha}{n} $ ， 在哪裡 $ n $ 是品種的數量
模型設置：
經濟的消費面
$ U_t = \left(\int_{t}^{\infty} e^{-\rho(\tau-t)} logD(\tau) ; d\tau\right) ~~~ [1] $
和 $ D(\tau) $ 反映了家庭對消費多樣性的品味，這些品味將產生對差異化產品的需求。讓我們假設在每個時刻，經濟中可用的品種數量都在區間內 $ [0, n(t)] $ ， 和 $ n(t) $ 是可用品種的數量 $ t $ .
我們對 D 施加以下規範，使得我們在每對商品之間具有恆定的替代彈性：
$ D = \left[\int_{0}^{n} x(j)^{\alpha} dj\right]^{1/\alpha}~~~ [2] $ ， 和 $ ~~~0<\alpha<1 $ , 這使得商品總替代品因為 EoS>1
那麼，家庭支出 $ E $ 通過購買最大化瞬時效用 $ x(j) $ 各種單位 $ j $ , （通過使用 Dixit-Stiglitz lite，即多樣性的愛好者）：
$ x(j) = \frac{Ep(j)^{-\epsilon}}{\left[\int_{0}^{n} p(j’)^{1-\epsilon} dj’\right]} ~~~ [3] $
現在，解釋 $ D $ 作為家庭消費的單一同質消費品，以及 $ D $ 根據給出的技術有競爭力地消費
$$ 2 $$ 均衡價格 $ p_D $ 等於：
$ \lambda= p_D =\left[\int_{0}^{n} p(j)^{1-\epsilon} dj\right]^{\frac{1}{1-\epsilon}} ~~~ [4] $
輸入需求 $ j $ 由製造商 $ D $ 通過使用 Shephard 引理，最終商品的單位由下式給出：
$ x(j) = D p(j)^{-\epsilon} \left[\int_{0}^{n} p(j’)^{1-\epsilon} dj’\right]^{-\frac{1}{\alpha}} ~~~ [5] $
最終產出的市場均衡條件： $ D=E/p_D ~~~[5.1] $
然後，給定 $ [2] $ , $ x(j)=x $ ， 因此 $ D= n^{\frac{1}{\alpha}}x $ , 並使用 $ X= nx $ 表示最終產品中包含的資源量。
因此，每單位最終投入的最終產出 (TFP) 由下式給出：
$ D/X = n^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}~~~[6] $ ，因此給定資源存量的生產力隨著可用品種的數量而增加。
然後，插
$$ 5.1 $$進入$$ 1 $$最大化，我們得到： $ \dot{E}/E = r- \rho ~~~ [7] $ 然後，正規化 $ E $ 為 1，即 $ E=1~~~ [8] $
處於平衡狀態 $ r=\rho $
生產品種
假設生產品種是在壟斷競爭中生產的，每個企業都提供一個獨特的品種 $ j $ 一個單位的品種只能用一個單位的勞動來生產。
因此，品種的利潤函式 $ j $ 是（誰）給的：
$ \pi(j) = p(j)x(j) -wx(j) $
均衡價格： $ p(j) = (1/\alpha)w ~~~[10] $
和 $ \pi = \frac{1-\alpha}{n} $ ， 和 $ E=1 $ . 這傢伙是哪裡來的？
筆記 $ E=\int x(j)p(j) dj = 1 $ 並且解決方案是對稱的，你可以得到 $ x(j)p(j) = 1/n $ .
然後使用
$$ 10 $$, $ \pi(j)=(1-\alpha)p(j) x(j)=(1-\alpha)/n $ .