在經濟建模中，我們如何確定線性化均衡的行為類似於原始均衡？
以下問題是在連續時間的背景下，儘管我懷疑也可以對離散時間說些什麼。
假設我們有以下等式：
$$ \dot x=f(x) $$
在哪裡 $ x(t)\in \mathbb{R}^n $ ， 為了 $ t\in I\subset \mathbb{R} $ .
我正在讀一本關於常微分方程的書。在這本書中，他們指出應該驗證一些條件 $ f $ ， 通常 $ f\in C^2(E\subset \mathbb{R}^n) $ ，以確保線性化 $ f $ 以質量相似的方式表現（確保存在 $ C^1 $ -微分同胚）。
例如，考慮
$$ \begin{aligned} \dot x &= -x -\frac{y}{\ln \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}\ \dot y &= -y -\frac{x}{\ln \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}\end{aligned} $$
和 $ f(0)=0 $ . 這 $ f $ 只是 $ C^1 $ 不是 $ C^2 $ （轉換為極座標 $ (\theta,r) $ ，然後看 $ \frac{d^2 \dot \theta}{dr^2} $ 趨於無窮大 $ r $ 歸零）。線性化給出了一個穩定的節點，但是根據更一般的定義，我們對原始非線性系統有一個穩定的焦點。
然而，每當我看到任何類型的線性化（DSGE 或增長理論）時，我一次都沒有看到與此相關的任何擔憂……也許，我遺漏了一些東西，這使得經濟差異。方程已經滿足了這一點。還是我錯了，這根本不是，也不應該成為理論宏觀經濟學家關心的問題？
任何幫助，將不勝感激。
許多宏觀經濟學家對檢查線性化方法的有效性持某種漫不經心的態度，但絕對不是全部。有關被認真對待的近似問題的範例，請參見Michael Woodford所著的《利息與價格》一書中的附錄 A.3“對數線性化和平衡的確定性”。