邊做邊學和知識溢出的模型 - Barro, Sala-i-Martin (2003)
考慮 Barro & Sala-i-Martin (2003) 第 4 章第 4.3 節從第 212 頁開始提出的邊做邊學和知識溢出的內生增長模型。在均衡狀態下，去中心化經濟中的消費增長率為給出： $$ \frac{\dot{c}}{c} = \left(\frac{1}{\theta} \right) \cdot \left( \underbrace{f(L) - L \cdot f’(L)}_{\phi_0} - \delta - \rho\right) $$ 在哪裡 $ c $ 是人均消費， $ \theta $ 是跨期替代彈性的倒數， $ L $ 是勞動力的規模（ $ \frac{\dot{L}}{L} = n $ 假定等於 $ 0 $ ), $ \delta $ 是折舊率， $ \rho $ 是主觀貼現率和 $ \phi_0 $ 是資本的邊際產品。
如果我們現在考慮一個中央計劃者，下面的表達式來自增長率 $ c $ 可以獲得： $$ \frac{\dot{c}}{c}\bigg\vert_{\text{planner}} = \left( \frac{1}{\theta} \right) \cdot (\underbrace{f(L)}_{\phi_1} - \delta - \rho) $$ 在哪裡 $ \phi_1 = f(L) $ 是資本的平均產品。
然後，作者繼續展示一個使用 Cobb-Douglas 產生式的例子： $$ Y_i = A \cdot (K_i)^\alpha \cdot (KL_i)^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1 $$ 索引在哪裡 $ i $ 對應公司 $ i $ ， IE， $ Y_i $ 是企業的產出 $ i $ .
在模型的假設下，如果我們代入 $ y_i = \frac{Y_i}{L_i}, k_i = \frac{K_i}{L_i} $ 和 $ k = \frac{K}{L} $ ，然後設置 $ y_i = y $ 和 $ k_i = k $ ，資本的平均產品為： $$ \frac{y}{k} = f(L) = A \cdot L^{1-\alpha} $$ 資本的邊際產品是 $$ f(L) - L \cdot f’(L) = A \cdot \alpha \cdot L^{1-\alpha} $$ 因此， $$ \begin{align*} \frac{\dot{c}}{c} &= \left(\frac{1}{\theta} \right) \cdot \left(A \cdot \alpha \cdot L^{1-\alpha} - \delta - \rho\right) \ \frac{\dot{c}}{c}\bigg\vert_{\text{planner}} &= \left( \frac{1}{\theta} \right) \cdot (A \cdot L^{1-\alpha} - \delta - \rho) \end{align*} $$ 自從 $ 0 < \alpha < 1 $ ，去中心化經濟的增長率低於中央計劃者經濟的增長率。
繼續，作者寫了以下內容，我引用：
通過引入投資稅收抵免，可以在去中心化經濟中實現社會最優 $ (1-\alpha) $ 並通過一次性稅收為其融資。如果資本購買者只支付一小部分 $ \alpha $ 在成本中，私人資本回報與社會回報相對應。然後我們可以證明分散的選擇與社會計劃者的選擇一致。或者，政府可以通過按比例補貼生產來產生相同的結果 $ \frac{(1-\alpha)}{\alpha} $
我無法理解稅收和補貼如何使去中心化經濟達到社會最優水平的增長率。直覺地說，我可以看到它是如何工作的，但我看不出它背後的數學在這種情況下是如何工作的。
如果有人可以向我解釋或指出正確的方向，我將不勝感激。如果我需要為問題添加更多詳細資訊，請告訴我。
我們可以通過在模型中添加一些公共物品來證明這一點，這些公共物品將由一次性稅收提供資金（Barro & Sala-i-Martin (2004). Economic Growth 2nd ed. ch 4.4.1 中也討論了這一點）。所以假設 Cobb-Douglas 在Barro 1990中給出如下：
$$ Y_i=AL_i^{1-\alpha} K_i^{\alpha}G^{1-\alpha} \tag{1} $$
現在對於任何給定的 $ G $ 利潤最大化企業將資本的邊際產量等同於租金價格 $ r+\delta $ 這將給我們：
$$ \alpha A k_i ^{ -(1-\alpha)}G^{1-\alpha}= r+\delta. \tag{2} $$
由於公司是同質的，他們都會選擇一些最優的 $ k_i=k $ 因此我們得到：
$$ Y= AL^{1-\alpha}K^{\alpha}G^{1-\alpha} \implies G = \left(\frac{G}{Y}\right)^{\frac{1}{\alpha}} (AL)^{\frac{1}{\alpha}}k \tag{3} $$
現在我們必須假設政府會選擇一些常數 $ G/Y $ 並且使用這種結合（3）和（4）給我們：
$$ \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} = r+ \delta \tag{4} $$
現在因為 $ G/Y $ 和 $ L $ 是恆定的，資本的邊際產品也將相對於時間是恆定的。因此：
$$ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} \left( \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} - \delta - \rho \right) \tag{5} $$
現在，在這種情況下，上述內容也恰好是善意的社會計劃者選擇的最佳選擇，因為計劃者會選擇 $ c $ , $ k $ 和 $ G $ 最大：
$$ \int^\infty_0 e^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} dt \tag{6} $$
這是家庭的效用，受以下約束：
$$ \dot{k} = A K^{\alpha}G^{1-\alpha}-c-\delta k - G/L \tag{7} $$
我們通過設置哈密頓量來組合 (6) 和 (7)：
$$ H = e^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} + v\left( A K^{\alpha}G^{1-\alpha}-c-\delta k - G/L \right) \tag{8} $$
這將為我們提供以下 FOC：
$$ e^{-\rho t} c^{-\theta} = v \tag{9} $$
$$ A(1-\alpha)k^{\alpha}G^{-\alpha} = \frac{1}{L} \implies \partial Y/ \partial G =1 \tag{10} $$
$$ - \dot{v} = v \left(A \alpha K^{\alpha-1}G^{ 1-\alpha} - \delta \right) \tag{11} $$
我們還必須施加橫向條件。
現在實際上方程（10）中給出的 FOC 暗示了 $ \implies \partial Y/ \partial G =1 $ 告訴我們，在最優 $ G/Y=1-\alpha $ （這就是投資稅收抵免價值的來源）。
最後我們發現當 $ G/Y=1-\alpha $ 社會規劃師會選擇：
$$ \frac{\dot{c}}{c} \bigg\vert_{\text{social planner}}= \frac{1}{\theta} \left( \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} - \delta - \rho \right) \tag{12} $$
這與 5 給出的分散均衡完全相同。但是，一次性稅收的假設對這個結果很重要，通常使用一些扭曲稅收我們不會得到相同的結果。