階段圖 - 增長模型
Ramsey-Cass-Koopman 增長模型的動力學通常用兩個方程總結在相圖中（使用正常符號）：
$$ \begin{align*} \frac{\dot c}{c}=&\frac{r-\rho}{\theta}\ \ \dot k =& f(k) - (n+g+\delta)k \end{align*} $$ 從這些方程中，您可以計算出平衡以及它是否是鞍形路徑。
然而，這種分析是靜態的；其中一些參數是隨時間變化的（例如，1950 年的人口增長與 2017 年不同）。您如何在這個本質上是靜態的圖形框架中表示這些變化？
在控制系統工程中，有“Aizerman 猜想”（Aizerman 的音譯不同）認為，如果參數（狀態矩陣）始終對應於穩定係統，則線性時變系統是穩定的。然而，這個猜想的反例被發現。
證明時變系統穩定的唯一方法（例如）是找到一個始終成立的 Lyapunov 函式。這通常會很困難。
像圖形分析這樣的東西在技術上是無效的，因為你違反了現有的假設。您幾乎必須從第一原理中得出任何結果。
時變參數對這樣的模型所做的是使長期平衡不再是相圖中的特定點。零變化位點移動和移動，它們的交叉點也是如此。
至少從教學的角度來看，您可以做的一件簡單的事情是重現“結構中斷”的效果而不是平滑的時間變化。所以在某個時間段內，模型的某個參數固定在某個水平，但隨後它跳到了不同的水平（比如說折舊發生了變化，因為過去更多的是建築物和機械，現在更多的是 IT、軟體和無形資產）。
這種突然的變化本質上離散了平滑的時間變化，並且它是可以接受的近似值。
這意味著一個人在相圖中繪製了兩對零變化軌跡，一對代表結構中斷之前的情況，一對錶示結構中斷之後的情況。一個通過從一個鞍形路徑跳到另一個鞍形路徑來顯示經濟的表現。
請參閱我的這篇部落格文章，我在其中實施了這種方法，以簡單的描述性術語反映希臘經濟目前的蕭條。