解析度 - 具有人均變數的 Ramsey 增長模型
假設我們有一個社會計劃者的效用總和
$$ \int_{0}^{\infty}U\left(C\right)e^{-\rho t}dt $$
在哪裡 $ C $ 是總消費量。如果我們想用人均變數來寫 $ c=\frac{C}{L} $ 在哪裡 $ L=e^{nt} $ 是以速率外生增長的總人口數 $ n $ . 我們可以重新制定這個，例如
$$ \int_{0}^{\infty}U\left(c\right)e^{nt}e^{-\rho t}dt $$
直到現在，一切都很簡單。但是，如果我們從指定的函式形式開始，例如 CRRA 實用程序
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma}e^{-\rho t}dt $$
我們不會達到上面的結果，應該有一些指數項 $ \sigma $ . 背後的邏輯是什麼？我想念一些東西。
的原因 $ e^{nt} $ 術語的存在是因為您想將整個效用乘以人數。您實際上不是將消費代入效用，而是將個人的效用乘以個人的數量。所以問題看起來像：
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma}e^{nt} e^{-\rho t}dt $$
至少 Barro 和 Sala-i-Martin 在他們的教科書《經濟增長》第二版中是這樣解釋的。他們說的第 87 頁
$$ emphasis mine $$:
的乘法 $ u(c) $ 在等式中……按家庭人數， $ L = e^{nt} $ , 表示當時所有家庭成員的utils加起來 $ t $ .
因此，按照我的理解方式，您將所有個人效用乘以人口。
事實上，我很確定這一點，因為在 Romer Advanced Economics 第 4 版第 2 章第 54 頁中有 Ramsey 模型，其中目標函式為：
$$ \int_{t=0}^{\infty} e^{-\rho t}\frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma} \frac{L(t)}{H} dt $$
這基本上正是您正在尋找的情況，唯一的區別是 Romer 還添加了 $ H $ 參數是家庭的數量，所以 $ L(t)/H $ 將是每戶人口。羅默後來也替補 $ L(t)=L(0)e^{nt} $ 這對於 $ L(0) $ 正規化為 1 給出幾乎相同的功能（額外的 $ H $ 參數 - 但對於 $ H=1 $ 它會給你完全相同的結果）。