新古典增長模型中的橫向條件
在新古典增長模型中，存在以下橫向條件：
$$ \lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u’(c_{t})k_{t+1}= 0, $$ 在哪裡 $ k_{t+1} $ 是期間的資本 $ t $ . 我的問題是：
- 我們如何得出這個條件？
- 如果我們想排除沒有債務積累的路徑，我們為什麼需要這個？
- 為什麼是拉格朗日乘數 $ \beta^{t}u’(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t} $ 資本的目前貼現值？
如果我們從有限範圍的問題開始，則可能更容易理解橫向性條件。
在標準版本中，我們的目標是
$$
\max_{{c_t,k_{t+1}}{t=0}^T} \sum{t=0}^T\beta^t u(c_t) $$ 受制於 $$ \begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned} $$ 和 $ k_0 $ 給定的。相關的拉格朗日（帶乘數 $ \lambda_t $ , $ \mu_t $ ， 和 $ \omega_t $ ） 是 $$ \max_{{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t}{t=0}^T} \sum{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1} $$ FOC 是 $$ \begin{align} c_t:&& \beta^tu’(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f’(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align} $$ 與庫恩-塔克互補鬆弛條件： $ t=0,\dots,T $ , $$ \begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align} $$ 由於資源約束必須在所有時期都具有約束力，即 $ \lambda_t>0 $ 對全部 $ t $ ，因此在最後一個時期 $ T $ , $ \omega_T=\lambda_T>0 $ , 這反過來意味著 $ k_{T+1}=0 $ . 通常我們假設 $ c_t>0 $ 對全部 $ t $ （稻田條件），這意味著 $ \mu_t=0 $ 對全部 $ t $ . 所以消費FOC變成$$ \beta^tu’(c_t)=\lambda_t \tag{3} $$ 看條件 $ (1) $ $ (2) $ 和 $ (3) $ 在最後一個時期 $ T $ ，我們得到
$$ \beta^Tu’(c_T)k_{T+1}=0 $$ 將此擴展到無限視界，我們得到橫向條件 $$ \lim_{T\to\infty}\beta^Tu’(c_T)k_{T+1}=0 $$ 對橫向條件的直覺部分是“上一期沒有儲蓄”。但是由於在無限視界環境中沒有“最後一個時期”，所以我們會隨著時間走向無限而取其極限。