當最優控制失敗時（？）
為了“問我的問題”，我必須先解決一個模型。我會省略一些步驟，但這不可避免地會使這篇文章變得很長——所以這也是一個測試，看看這個社區是否喜歡這樣的問題。
在開始之前，我澄清一下，這可能看起來完全像一個標準的新古典連續時間增長模型，但它不是：它關注的是一個單獨的個體，它不“代表”他周圍經濟中的任何其他人，一個經濟沒有建模。這裡的框架是**“將最優控制應用於單個個體的最大化問題”。**這是關於最優控制解決方案框架和方法本身的。
我們解決了一個擁有公司資本的小商人的跨期效用最大化問題，他在完全競爭的勞動力市場上購買勞務，在完全競爭的商品市場上銷售他的產品（新鮮甜甜圈）。我們在沒有不確定性（社會經濟條件穩定）的連續時間內設置模型，並且具有無限的視野（商人連續設想了他的許多未來副本）：
$$ \max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c,\text{d}t\ \text{s.t.};; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0 $$ 在哪裡 $ c $ 是商人的消費， $ \ln c $ 是來自消費的瞬時效用， $ \rho>0 $ 是純時間偏好率， $ k $ 是公司的資本， $ \delta $ 是資本折舊率，和 $ f(k,\ell) $ 是企業的生產函式。給定初始資本水平， $ k_0 $ . 商人自己在企業中的職業被納入資本。生產函式是標準的新古典主義（規模報酬不變、邊際產品為正、二次偏為負、稻田條件）。約束是資本運動定律和使用目前價值乘數的橫向條件。
設置目前值哈密頓量
$$ \hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c] $$ 我們計算一階條件
$$ \frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda} $$ $$ \frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w $$ $$ \frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda $$ 將它們結合起來，我們得到了我們商人的消費進化規律，
$$ \dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1} $$ 從勞動力需求的最優規則 $ \ell: f_{\ell} =w $ （靜態）和規模報酬不變的含義（ $ f = f_kk + f_{\ell}\ell $ ） 我們獲得 $ f-w\ell = f_kk $ . 將其代入資本運動定律，我們得到
$$ \dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2} $$ 方程 $ (1) $ 和 $ (2) $ 形成一個微分方程組。商人的消費和資本的穩態值為
$$ c^* = f_k^k^ - \delta k^,;;; k^: f^_k = \delta +\rho \tag{3} $$ $$ \Rightarrow c^ = \rho k^* \tag{3a} $$ …這是一個非常熟悉的表達方式。
$ k^* $ 有時被稱為資本的“修正黃金法則”水平。在穩態值下評估的系統雅可比行列式對於模型參數的任何值都有負行列式，這是系統表現出鞍形路徑穩定性的充分必要條件。
的最大值 $ \dot k =0 $ 軌跡就在這一點上， $ \tilde k $ （有時稱為資本的“黃金法則”水平）
$$ \tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4} $$ 這 $ \tilde k $ 價值作為基準很重要：它是資本水平 $ \dot k =0 $ 和 $ c $ 處於最大值（不是最佳或穩定狀態）。
這 $ \dot c=0 $ 軌跡與穩態資本水平的相圖（衡量資本）的水平軸相交 $ k^* $ .
如果 $ k^* > \tilde k $ ，這需要 $ f_k^* < f_k(\tilde k) $ 由於負二偏，我們會出現“資本過度積累”（甜甜圈太多）：商人可以以較低的資本水平享受更多的穩態消費。使用 $ (3) $ 和 $ (4) $ 我們有
$$ f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k $$ $$ \Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5} $$ 不等式 $ (5) $ 是資本處於次優穩態水平的條件。問題是，我們不能排除它。它只要求商人“足夠耐心”，純粹的時間偏好率足夠小，但仍然是積極的。
**問題從這裡開始：**在代表性代理模型中有效地排除了資本的過度積累。在重疊的生成模型中是可能的，但作為宏觀經濟層面的意外結果，這是最早的例子之一，即宏觀經濟可能是微觀基礎的，並且仍然與微觀世界不同。
但我們的模型不屬於任何一類：它是隱含異構環境中單個代理的部分均衡模型——這裡的一般均衡不會改變結果：這個人只代表他自己。所以問題是，如果 $ (5) $ 成立，那麼最優控制解決方案顯然是次優的，因為在這裡我們只有一個人，一個意志，一個頭腦：通過查看解決方案，我們的商人會說，“嘿，這個方法毫無價值，如果我聽從它的建議，我最終會得到一個次優的高水平資本”。
而且我不滿足於簡單地說“好吧，Optimal Control 不適合這個問題，嘗試另一種方法”，因為我不明白為什麼我們應該認為它不適合。但是如果它是合適的，那麼該方法應該發出錯誤的信號，它應該在某些時候要求 $ (5) $ 不成立，以便能夠提供解決方案（如果發生這種情況 $ (5) $ 不成立，一切看起來都膨脹了）。
有人可能想知道“如果 $ (5) $ 成立嗎？”——但它看起來並不成立，因為 $ \lambda(t)k(t) = k(t)/c(t) $ ，它變為一個正常數，而 $ e^{-\rho t} $ 變為零，只需要 $ \rho>0 $ .
我的問題：
1）有人可以在這裡提供一些見解嗎？
2）如果有人使用動態程式解決了這個問題並報告了結果，我將不勝感激。
附錄
從數學的角度來看，這個模型的關鍵區別在於優化的資本運動規律，eq。 $ (2) $ 不包括整個輸出 $ f(k) $ 和標準模型一樣，但只有資本回報 $ f_kk $ . 發生這種情況是因為我們對產出進行了分離的產權，這在“個體企業最大化問題”框架中是可以預期的。
我認為問題在於穩定狀態可能不存在，而是系統呈現穩定增長（取決於參數）。
原因是該模型等價於外生利率不變的標準消費儲蓄問題。要看到這一點，首先考慮勞動力選擇的一階條件 $ f_2(k,\ell) = w $ （這裡， $ f_i $ 是偏導數 $ f $ wrt。 $ i $ 論點）。使用恆定收益的定義，勞動的邊際產量是
$$ \frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) $$ 這只是資本-勞動力比率的函式。如果工資不變，則勞動力 FOC 唯一確定最優 $ k/\ell $ 作為工資函式的比率 $ w $ 和其他參數。由於資本的邊際產品 $$ \frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) $$ 也取決於 $ k/\ell $ ，它將沿著最優路徑保持不變。表示這個邊際產品的價值 $ r^* $ ，並表示折舊後的淨收益 $ r = r^* - \delta $ . 資本和消費動態的方程 (1) - (2) 是 $$ \begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split} $$ 滿足橫斷條件的具體解應該是 $ c_t = \rho k_t $ 和 $ k_0 $ 給定的，即財富的恆定部分在每一刻被消耗。資本和消費雙雙增長 $ (r-\rho) $ ，所以沒有穩定狀態，除非資本回報率（這裡取決於外生工資率 $ w $ ) 等於時間偏好率。