如何計算標準布朗運動函式的期望值（維納過程）

函式內部維納過程的期望值有問題，即：

計算 $ E[cos(W_t)] $ .

為了擴展我的問題，當這些 E 包含在某個函式中時，計算這些 E 的一般方法是什麼？為此，我有一種預感，必須使用一些泰勒級數作為餘弦，但我怎麼知道？除了使用伊藤，我什麼時候需要一些特殊的方法？

在這種特殊情況下，計算期望值的最簡單方法是寫 $ \cos(x) = \Re(e^{ix}) $ 並使用高斯變數的特徵函式公式：如果 $ Z \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) $ , $ E[e^{iuZ}] = e^{iu\mu - \frac{1}{2}u^2 \sigma^2 } $ （只需將期望值寫為積分 $ \int_{\mathbb{R}} e^{iuz} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}} dz $ ，重新組合指數並“完成正方形”）。

所以，既然 $ W_t \sim \mathcal{N}(0,t) $ ，我們得到

$$ E[\cos(W_t)] = E[\Re(e^{iW_t})] = \Re(E[e^{iW_t}]) = \Re(e^{-t/2}) = e^{-t/2}. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/11005