計算維納過程的積分值∫噸0和λ_d從在∫0噸和λ在d從在int_{0}^t e^{lambda u } dZ_u
我不太確定如何解決這個積分以便能夠用它進行數值計算。 $ \lambda $ 是一個常數， $ u $ 是時間，並且 $ Z_u $ 是一個維納過程。任何人都可以提供一些關於如何解決它的方向嗎？
$ f = \int_{0}^t e^{\lambda u } dZ_u $
我將嘗試使用 Ito 的引理來提出解決方案。伊藤引理指出：
$$ F(Z_t,t)=\int_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial Z}a+0.5\frac{\partial^2 F}{\partial Z^2}b^2\right)du+\int_0^t\frac{\partial F}{\partial Z}bdZ_u $$
我們有 $ a=0 $ 和 $ b=1 $ （因為 $ Z_t=\int_0^t0du+\int_0^t1 dZ_u $ ).
我的策略是找到一個函式，使得積分 $ \int_0^te^{\lambda u}dZ_u $ 出現在伊藤引理的表達式下 $ \int_0^t\frac{\partial F}{\partial Z}dZ_u $ : 因此，我會嘗試 $ F(Z_t,t):=Z_te^{\lambda t} $ . 然後我們得到：
$$ Z_te^{\lambda t}=\=\int_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial Z}a+0.5\frac{\partial^2 F}{\partial Z_t^2}b^2\right)du+\int_0^t\frac{\partial F}{\partial Z}bdZ_u=\=\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du+\int_0^te^{\lambda u}dZ_u $$
現在我們可以在 RHS 上分離出感興趣的術語並編寫：
$$ Z_te^{\lambda t}-\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du=\int_0^te^{\lambda u}dZ_u $$.
根據@siou0107 的回答，以上是一個正態分佈的隨機變數：
$$ \mathbb{E}\left[Z_te^{\lambda t}-\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du\right]=\=\mathbb{E}\left[Z_t\right]{=0}e^{\lambda t}-\int_0^tu\mathbb{E}\left[Z_u\right]{=0}e^{\lambda u}du=0 $$
$$ Var\left(Z_te^{\lambda t}-\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du\right)=Var\left(\int_0^te^{\lambda u}dZ_u\right)=\=\mathbb{E}\left[\left(\int_0^te^{\lambda u}dZ_u\right)^2\right]-\left(\mathbb{E}\left[\int_0^te^{\lambda u}dZ_u\right]_{=0}\right)^2 $$
使用 Ito Isometry，我們得到：
$$ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^te^{\lambda u}dZ_u\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(e^{\lambda u}\right)^2du\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^te^{2\lambda u}du\right]=\int_0^te^{2\lambda u}du $$
PS：我們可以看到使用伊藤引理並不是解決問題的聰明方法，因為它沒有簡化，反而使問題變得更複雜。根據@siou0107 的回答，直接採用Ito 積分的期望和變異數是解決問題的最佳方法。