博彩業利潤最大化的一階條件
我正在研究賭博行業中最佳支付百分比的模型。
因為 1 美元門票的名義價格始終為1 美元，所以我們使用有效的價格策略，其中 Q = 1美元贏得獎品。如果遊戲支付 50%，則有效價格為2美元，因為這是贏得預期1美元獎品所需的費用。很簡單，對吧？
好吧，我在一些研究中遇到了這個腳註，並且無法弄清楚他們是如何從第一個方程得到利潤最大化的一階條件的：
“讓 $ C(Q) $ 將運營成本表示為數量單位的函式，其中一個數量單位定義為一美元的獎品預期價值。
彩票機構的淨利潤由下式給出
$$ N = PQ - Q - C(Q) $$ 在哪裡 $ P $ 是為數量單位收取的價格。
利潤最大化的一階條件可以寫成
$$ -E_{PQ} = P(1 - C’)/[P(1 -C’)- 1] $$ 如果邊際運營成本是 $ 6 $ 銷售額的百分比和支付率是 $ 50 $ 百分比，我們有 $ P = 2 $ 和 $ C’ = .12 $ ，這意味著最大利潤時的需求價格彈性為 $ -2.3 $ .
為了提高支付率以增加利潤， $ E_{PQ} $ 必須超過 $ 2.3 $ 絕對值。”
-*$$ Citation $$*Clotfelter、查爾斯 T 和菲利普 J 庫克。“關於國家彩票的經濟學。” 經濟展望雜誌：105-19。
在 FOC 方程中， $ -E_{PQ} $ 是需求的有效價格彈性。這通常可以通過對 $ P $ 關於 $ Q $ 在第一個等式中。
他們是如何走到現在的？一定有我想念的東西。
我無法理解如何達到特定的一階條件 - 無論它是淨收入方程的某些衍生過程的結果，還是只是應用的外部條件。
謝謝！
有問題的表達在腳註中 $ 11 $ 的參考文章。閱讀論文，我們看到這裡的決策變數是“支付率”，它是 $ P $ . 所以等價地，我們可以解決最大化問題 $ P $ （而不是寫 $ Q $ ）。此外，“需求價格彈性”涉及 $ Q $ 關於 $ P $ ，而不是相反：
$$ E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P $$ 我們預計它是負數（更高的價格意味著更低的支付率，導致這裡對數量度量的需求減少，即“對獎品的需求”減少）。
我們可以將最大化問題寫成
$$ \max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right] $$ 一階條件是
$$ \frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q’ - Q’ - C’\cdot Q’ = 0 \tag{1} $$ 乘以 $ P/Q $ :
$$ Q\frac PQ + P\cdot Q’\frac PQ - Q’\frac PQ - C’\cdot Q’\frac PQ = 0 $$ $$ \Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C’\cdot E_{PQ}=0 $$ $$ \Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C’} \tag{2} $$ 這是有道理的。插入參考中提供的值，我們有
$$ -E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27 $$ 這非常接近作者提出的方程式得出的值。通過我嘗試的任何代數運算，我都無法複製他們的公式，但是 eq $ (2) $ 在任何情況下都是正確的。如果和解出現，我會更新。