美國電話：什麼時候是歐洲的？

一個相當普遍的事實是，在遵循幾何布朗運動 (GBM) 的無股息股票的 Black-Scholes (BS) 模型中，美國看漲期權的價格與其歐洲同行的價格一致。關於這一點，我有一些問題：

1. 當我想檢查它的證明時，儘管我有相當多的 FinMath 書籍，但我只在 Shreve 的“金融隨機微積分第二卷”中找到了證明。那裡的證明是機率性的，並且僅基於看漲期權的價格是次鞅的事實，因此根據可選抽樣定理，早期行使它並不是最佳的。但是，我找不到更符合 PDE 定價方法精神的證據。例如，我沒有在威爾莫特的任何書中看到它，這讓我很驚訝。那麼第一個問題：證明的其他來源是什麼，是否有與 Shreve 不同的證明？
2. 根據 Shreve 的證明，標的物似乎不必遵循 GBM，唯一重要的部分似乎是我們將能夠在預期之外進行貼現，特別是對於確定性利率。我想這意味著許多其他模型：本地波動率、隨機波動率等也意味著美國看漲期權的價格等於歐洲看漲期權的價格。下一個想法是關於跳躍模型 - 但等等……支付股息的股票是跳躍模型的一個特例，我們肯定知道在這種情況下，美國看漲期權的價值嚴格高於歐洲看漲期權。是否因為不存在這種股票的（貼現）價格為鞅的機率測度？

一般來說：什麼是美國看漲期權價格等於歐洲看漲期權價格的充分（也許是必要）條件。這個問題純粹是理論上的：即，這適用於哪些模型。這是否也適用於股票期貨、固定收益和外匯產品作為標的？乍一看，至少在期貨的情況下，只要它的價格可以用 GBM 建模，同樣的理論也適用（這不過是另一個基礎，我們不在乎它是股票還是期貨股票），但是我在某處聽說，將美國期貨看漲期權持有至到期可能嚴格來說是次優的。

這是一個無模型的結果。條件是 $ d\leq 0, r\geq 0. $

證據是，對於歐洲

$$ C_t > S_t - Ke^{-r(T-t)} \geq S_T - K $$ 美國人的價值至少和你一樣多，所以你從不早鍛煉。所以它的價值與歐洲相同。 為了證明不等式，觀察如果 $ B_T =1, $ 拿 $ K $ 單位 $ B_t $ 和其中之一 $ C_t $ 得到有價值的東西

$$ \max(S_T,K) \geq S_T $$ 有時 $ T $ . 所以你必須有 $$ C_t + K B_t > S_t $$ 前。 （你需要在你的圖書館裡拿到我的書“概念”！）

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/17669