美式看跌期權的凸性
相對於罷工而言，一個沒有股息的美國人的價格是否是凸的？
這是美式期權相對於參數的凸性的一個更直接的證明，如果它獨立於時間和確定性，則比我之前的證明，儘管我很高興在動態規劃原理之間建立了聯繫，離散時間過程和連續時間過程。正如前面的答案所指出的，百慕大期權參數的限製過程適用於更廣泛的參數，包括隨機變數，例如 $ S_t $ 而這種方法沒有。
讓 $ g(t,\omega,x) $ 是依賴於樣本的貼現收益函式 $ \omega $ 有時 $ t $ 參數是凸的（例如罷工） $ x $ 獨立於 $ (t,\omega) $ ， 和 $ \mathcal T $ 所有停止時間的集合。美式期權的價格 $ A(x) := \sup_{\tau\in\mathcal T}\mathbf Eg(\tau,\omega,x) $ . 為了符號簡潔，我們將放棄 $ \omega $ 從以下推導。
$ \forall\tau\in\mathcal T,,\lambda\in[0,1] $ , 通過凸性 $$ g(\tau,\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda g(\tau,x)+(1-\lambda)g(\tau,y). $$ 然後 $$ \begin{align} \mathbf Eg(\tau,\lambda x+(1-\lambda)y) &\le \lambda\mathbf E g(\tau,x)+(1-\lambda)\mathbf Eg(\tau,y) \ &\le \lambda\sup_{\tau\in\mathcal T}\mathbf E g(\tau,x)+(1-\lambda)\sup_{\tau\in\mathcal T}\mathbf Eg(\tau,y) \ &=\lambda A(x)+(1-\lambda) A(y). \end{align} $$ 因此 $$ A(\lambda x+(1-\lambda)y)=\sup_{\tau\in\mathcal T}\mathbf Eg(\tau,S_\tau,\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda A(x)+(1-\lambda)A(y), $$ 或者那個 $ A(x) $ 是凸的 $ x $ .
這的確是。美式期權的價格是在行權間隔接近零的限度內的百慕大期權。百慕大期權在任何行權時間都可以通過動態規劃原則進行歸納評估，作為下一次行權時間百慕大期權價格的收益和風險中性期望值的最大值。後者被歸納假設為，而前者在所關注的隨機變數中是凸的。凸函式的最大值又是凸的。顯性收斂定理保證了一系列凸函式的逐點極限再次是凸的。因此美式期權的行使價是凸的。
我的另一個答案更直接，沒有訴諸百慕大選項的收斂性，但僅適用於確定性參數；而下面的百慕大期權方法也可以用來證明美式期權相對於隨機變數的凸性，例如 $ S_t $ .
我們將展示百慕大期權價格與其相關美式期權價格的趨同。
讓 $ A $ 成為當時的價格 $ 0 $ 具有連續收益函式的美式期權 $ g(S) $ 在底層 $ S $ 到期的時間 $ 1 $ ， IE $$ A=\sup_{\tau\in\mathbb F[0,1]}\mathbf E g(S_\tau), $$ 在哪裡 $ \mathbb FS $ 代表在集合 S 中取值的所有停止時間的集合。讓 $ (T_n){n=1}^\infty $ 是一個集合序列，其中 $ T_n:={0,t_1,t_2,\cdots,t{n-1},t_n=1} $ 和 $ 0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<1 $ 和 $ \max_{0\le i\le n-1}(t_{i+1}-t_i)\to 0 $ 作為 $ n\to\infty $ . 相關的百慕大期權價格 $ 0 $ 是 $$ B_n=\sup_{\tau\in\mathbb FT_n}\mathbf Eg(S_\tau). $$
引理： $$ \lim_{n\to\infty} B_n=A. $$
**證明：**固定一個任意的停止時間 $ \tau\in\mathbb F[0,1] $ 和 $ \epsilon>0 $ .
定義簡單函式 $$ \tau_{T_n}:=\sum_{i=0}^{n-1} t_i\mathbf 1_{[t_i,t_{i+1})}. $$ $ \tau_{T_n}\to \tau $ 幾乎可以肯定 $ n\to\infty $ . 自從 $ S_t $ 幾乎肯定是連續的 $ t $ 和 $ g $ 是連續的，根據支配收斂定理， $$ \mathbf E|g(S_{\tau_{T_n}})-g(S_{\tau})|\to0 $$ 作為 $ n\to\infty $ . $ \exists N(\tau,\epsilon)\ni $ $$ \mathbf Eg(S_{\tau_{T_n}})>\mathbf Eg(S_\tau)-\epsilon \tag1 $$ $ \forall n>N(\tau,\epsilon) $ . 對於這樣 $ n $ $$ B_n=\sup_{\tau\in\mathbb FT_n}\mathbf Eg(S_\tau)\ge \mathbf Eg(S_{\tau_{T_n}}) \tag2. $$ 有無數個 $ k>N(\tau,\epsilon) $ ， 那 $$ \liminf_{n\to\infty} B_n\ge B_k \tag3 $$ 結合 $ (1), (2) $ 和 $ (3) $ ， 我們有 $$ \liminf_{n\to\infty} B_n>\mathbf Eg(S_{\tau})-\epsilon. $$
作為 $ \tau $ 和 $ \epsilon $ 是任意的 $$ \liminf_{n\to\infty} B_n\ge \sup_{\tau\in\mathbb F[0,1]}\mathbf E g(S_{\tau}). \tag4 $$
另一方面，很明顯 $$ \sup_{\tau\in\mathbb F[0,1]}\mathbf E g(S_{\tau})\ge\sup_{\tau\in\mathbb FT_n}\mathbf Eg(S_\tau)=:B_n. $$ 這導致 $$ A=\sup_{\tau\in\mathbb F[0,1]}\mathbf E g(S_{\tau})\ge\liminf_{n\to\infty} B_n. \tag5 $$
最後，結合 $ (4) $ 和 $ (5) $ ，我們得到了想要的結果。 $ \quad\quad\square $