美國衍生品定價
閱讀 Andrea Pascucci 的書“期權定價中的偏微分方程和鞅方法”，我正在努力解決一個非常簡單的問題。假設我們想找到一種美國衍生品的價格 $ X $ 在一個無套利和完整的市場。讓 $ \mathbb{Q} $ 然後是具有 numeraire 的（唯一）等價鞅測度 $ B $ （確定性鍵）並讓 $ X_t $ 成為美國衍生品的價值一次 $ t $ ( $ X_t $ 因此，在最一般的表述中， $ \mathcal{F}_t $ -適應的隨機過程）。讓 $ H $ 是無套利價格 $ X $ . 顯然它必須是 $ H_T=X_T $ . 當時 $ t=T-1 $ 價格確定為
$$ H_{T-1} = \max\left(X_{T-1},\frac{1}{1+r},\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ X_T\mid\mathcal{F}{T-1}\right]\right). \quad(1) $$ 我清楚地明白 $ \frac{1}{1+r},\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ X_T\mid\mathcal{F}{T-1}\right] $ 是當時的無套利價格 $ T-1 $ 到期的歐洲衍生品 $ T $ 和回報 $ X_T $ , 但哪個是等式 (1) 背後的無套利論點？
對於美式期權，您有權在任何中間時間行使。那麼，一時 $ T-1 $ ，如果您行使您的選擇權，您將獲得回報 $ X_{T-1} $ . 但是，如果您等待到期時行使 $ T $ ，你的價值是 $ \frac{1}{1+r}\mathbb{E}^Q\left(X_T \mid \mathscr{F}_{T-1} \right) $ . 您當時的期權價值 $ T-1 $ 是這兩個值的最大值，即
$$ \begin{align*} \max\left(X_{T-1}, , \frac{1}{1+r}\mathbb{E}^Q\left(X_T \mid \mathscr{F}_{T-1} \right) \right). \end{align*} $$