為什麼我們放棄 Barone-Adesi Whaley 公式中的最後一項
在第 306 頁的前幾行中，作者刪除了等式 11 中的最後一項，他解釋說，當 $ T\to 0 $ ， 我們有 $ f_K\to 0 $ ，但我不知道為什麼。
誰能解釋一下？
$ \epsilon $ 是早期行使溢價，並且 $ T $ 是成熟的時間。定義 $ K(T):=1-e^{-rT} $
寫 $ \epsilon $ 作為 $ \epsilon(S,K)=K(T)f(S,K) $
等式 11 是
$$ S^2f_{SS}+NSf_S-(M/K)f-(1-K)Mf_K=0 $$
下面是達到上述結果的手動方式。我懷疑有一種更優雅的方式來展示它。
提前行權溢價定義為美式和歐式期權價格之間的 差額
$$ \epsilon(S,T) := C(S,T)-c(S,T) \tag{0} $$ 在論文中它被進一步改寫為 $$ \epsilon(S,T) = K(T) f(S,K(T)) = \epsilon^(S,K(T)) \tag{1} $$ 對於某些功能 $ K: T \to 1-e^{-rT} $ 以及我們讓 $$ \epsilon^ : (S,K) \to K f(S,K) $$ 從上面的表達式
$$ f(S,K) = \frac{\epsilon^(S,K)}{K} $$ 因此 $$ f_K(S,K) = -\frac{\epsilon^(S,K)}{K^2} + \frac{\epsilon^K(S,K)}{K} $$ 我們想計算 $$ \lim{T \to 0} f_K(S,K(T)) = \lim_{K \to 0} f_K(S,K) = \lim_{K \to 0} -\frac{\epsilon^(S,K)}{K^2} + \frac{\epsilon^*_K(S,K)}{K} \tag{2} $$ 為了幫助我們進行計算，我們注意到：
隨著到期時間趨於 0，美式期權變得嚴格等同於其歐洲對應物（即相同價格 + 相同希臘），因此我們特別有：
$$ \lim_{T \to 0} \epsilon(S,T) = 0 \tag{A} $$ $$ \lim_{T \to 0} \epsilon_T(S,T) = 0 \tag{B} $$ $$ \lim_{T \to 0} \epsilon_{TT}(S,T) = 0 \tag{C} $$
使用 (A) 並註意到
$$ \lim_{T \to 0} \epsilon(S,T) = 0 \iff \lim_{K \to 0} \epsilon^(S,K) = 0 $$ 我們可以使用 l’Hôpital 規則將 (2) 重寫為 $$ \lim_{K \to 0} f_K(S,K) = \lim_{K \to 0} -\frac{\epsilon^_K(S,K)}{2K} + \frac{\epsilon^K(S,K)}{K} = \lim{K \to 0} \frac{\epsilon^_K(S,K)}{2K} \tag{3} $$
從 (1)
$$ \epsilon_T(S,T) = \epsilon^_K K_T = \epsilon_K^(S,K(T)) re^{-rT} $$ 使用 (B) 和上面的等式產生 $$ \lim_{T\to 0} \epsilon_T = 0 \iff \lim_{T \to 0} \epsilon_K^(S,K(T)) r = 0 $$ 因此$$ \lim_{K \to 0} \epsilon_K^(S,K) = 0 \tag{4} $$ 將其插入 (2) 並使用 l’Hôpital 規則給出 $$ \lim_{T \to 0} f_K(S,K(T)) = \lim_{K \to 0} \frac{\epsilon^*_{KK}(S,K)}{2} $$
從 (1)
$$ \epsilon_{TT}(S,T) = \epsilon^_{KK} K_T^2 + \epsilon_K^ K_{TT} $$ 與我們之前所做的類似，將 (C) 與 (3) 一起使用將導致 $$ \lim_{K \to 0} \epsilon^{KK} = 0 \tag{5} $$ 並將其插入到我們的表達式中 $ \lim{T\to 0} f_K $ 最終產生 $$ \lim_{T\to 0} f_K = \frac{1}{2} \lim_{K \to 0}\epsilon^_{KK}(S,K) = 0 $$