僅在給定資本收益和收入回報的情況下計算總指數回報
給定單個時期的總指數回報可以描述為：
$$ TR_{1}=\sum_{i=0}^Nw_i \frac {(p_{1i}-p_{0i}+inc_i)}{p_{0i}} $$
有沒有辦法重寫或導出上述的多期形式，其中輸入是總回報的價格和收入組成部分的回報（百分比形式）？
前任：
如果證券市場指數第一期的價格回報率為 10%，收入回報率為 2%，第二期的價格回報率為 15%，收入回報率為 3%，那麼求總回報率的方法是什麼？只有這些百分比輸入？
假設 $ N $ 是指數中的證券數量，並且 $ w_i $ 是安全的重量 $ i $ , 可以重寫 $ TR_{1,0} $ , 指數從時間的總回報 $ 0 $ 通過 $ 1 $ ， 作為
$$ \begin{align*} TR_{1,0} &= \sum_{i=1}^Nw_i \frac {(p_{1,i}-p_{0,i}+c_{1,i})}{p_{0,i}} &&<\text{definition}> \ &= \sum_{i=1}^Nw_i (p_{1,i}/p_{0,i}-p_{0,i}/p_{0,i}+c_{1,i}/p_{0,i}) &&<\text{algebra}> \ &= \sum_{i=1}^Nw_i (p_{1,i}/p_{0,i}-1+c_{1,i}/p_{0,i}) &&<\text{algebra}> \ &= \sum_{i=1}^Nw_i (pr_{1,i}+cr_{1,i}) &&<\text{substitute }pr_{1,i}=p_{1,i}/p_{0,i}-1, cr_{1,i}=c_{1,i}/p_{0,i}> \tag 1 \end{align*} $$
在哪裡 $ p_{j,i} $ 是安全的代價 $ i $ 有時 $ j $ , $ c_{j,i} $ 是安全的收入 $ i $ 從時間 $ j-1 $ 通過時間 $ j $ , $ pr_{j,i} $ 是證券的價格回報 $ i $ 從時間 $ j-1 $ 通過 $ j $ , $ cr_{j,i} $ 是證券的收益回報 $ i $ 從時間 $ j-1 $ 通過 $ j $ .
等式（1）可以概括為
$$ TR_{j,j-1} = \sum_{i=1}^Nw_i (pr_{j,i}+cr_{j,i}) \tag 2 $$
在哪裡 $ TR_{j,j-1} $ 是指數從時間開始的總回報 $ j-1 $ 通過時間 $ j $ .
指數從時間 0 到時間的總回報 $ K $ （多期回報）可以通過複合單期回報來計算。這可以表示為
$$ \begin{align*} TR_{K,0} &= \left( \prod\limits_{j=1}^{K} (TR_{j,j-1}+1) \right) - 1 &&<\text{definition}> \ &= \left( \prod\limits_{j=1}^{K} \left( \left( \sum_{i=1}^N w_i (pr_{j,i}+cr_{j,i}) \right) +1 \right) \right) - 1. &&<\text{substitute equation (2)}> \tag 3 \end{align*} $$
通過假設權重可以動態變化，可以進一步推廣等式 (2) 和 (3)。動態權重可以表示為 $ w_{j-1,i} $ 這將是安全的重量 $ i $ 有時 $ j-1 $ . 那麼等式（3）可以改寫為
$$ TR_{K,0} = \left( \prod\limits_{j=1}^{K} \left( \left( \sum_{i=1}^N w_{j-1,i} (pr_{j,i}+cr_{j,i}) \right) +1 \right) \right) - 1. \tag 4 $$