折扣股價
我有以下問題：
證明在風險中性機率 p 下，股票和銀行賬戶的平均增長率相同。換句話說，如果 $ S_0 , S_N $ 是初始和最終股票價格和 $ B_0 , B_N $ 初始和最終的銀行價格，表明：
$$ E[S_N / S_0 ] = E[B_N / B_0 ] = c $$ 提示：貼現股價是 P 下的鞅。
你能向我解釋一下折後股價是多少嗎？
希望您不會介意我將自己置於連續時間中。折現股價為 $ T $ 是 $ e^{-rT}S_T $ . 如您所知，它是鞅，您有 $ \mathbf{E}^{\mathbf{P}}[e^{-rT}S_T | \mathscr{F}_t] = e^{-rt} S_t $ 什麼時候 $ t\leq T $ 你可以重寫為 $ \mathbf{E}^{\mathbf{P}}\left[\frac{e^{-rT}S_T}{e^{-rt} S_t} | \mathscr{F}_t\right] = 1 $ 或者 $ \mathbf{E}^{\mathbf{P}}\left[\frac{S_T}{S_t} | \mathscr{F}_t\right] = e^{r(T-t)} $ 和 $ e^{r(T-t)} $ 只是 $ \mathbf{E}^{\mathbf{P}}\left[\frac{B_T}{B_t} | \mathscr{F}_t\right] $ . 最後，採取 $ t=0 $ 給你你正在尋找的平等。
讓 $ S_t $ 和 $ B_t $ 分別為當時的股票價格和貨幣市場賬戶價值 $ t $ . 然後 $ S_t/B_t $ 稱為折現股價。注意
$$ \begin{align*} E\left(\frac{S_N}{S_0}\right) &= E\left(\frac{S_N}{B_N} \frac{B_N}{B_0}\right)\frac{B_0}{S_0}\ &= E\left(\frac{S_N}{B_N}\right) E\left(\frac{B_N}{B_0}\right)\frac{B_0}{S_0} + Cov\left(\frac{S_N}{B_N}, \frac{B_N}{B_0}\right)\frac{B_0}{S_0}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ Cov(,) $ 是共變異數運算元。如果利率是確定性的，那麼 $$ \begin{align*} E\left(\frac{S_N}{S_0}\right) &= E\left(\frac{S_N}{B_N}\right) E\left(\frac{B_N}{B_0}\right)\frac{B_0}{S_0}\ &= E\left(\frac{B_N}{B_0}\right). \end{align*} $$ 但是，如果利率是隨機的，這個結論可能不成立。