更長的時間範圍是否必然意味著風險降低？
人們普遍認為持有某些資產（尤其是股票）的時間越長，投資者面臨的風險就越小，是否有數學/統計基礎？
或者，是否有以下陳述的數學/統計證明（甚至只是證據）：
對於某些資產 A，持有 A 的時間長度與與 A 相關的風險呈負相關。
這取決於您如何定義風險。
假設一個恆定的正股票風險溢價和一個遵循幾何布朗運動 (GBM) 的股票指數：
$$ d \log S_t = \mu , dt + \sigma , dZ_t = (\hat{\mu} - \frac{1}{2} \sigma^2) , dt + \sigma , d Z_t. $$ 讓 $ T $ 表示投資期限。標準化收益正態分佈為
$$ Z = \frac{\log \frac{S_T}{S_0}- \mu ,T}{\sigma \sqrt{T}} \sim N(0,1). $$ 由此我們看到，預期年化收益率和年化收益率的標準差表現為
$$ E \left(\frac{1}{T} \log \frac{S_T}{S_0} \right) = \mu, \ \text{var}\left(\frac{1}{T} \log \frac{S_T}{S_0} \right) = \frac{\sigma^2}{T} \to 0 ,,,, \text{as } T \to \infty $$ 這只是大數定律的結果。隨著時間跨度的增加，年化回報的分佈變得更加集中在預期回報附近。
我們還可以證明，“損失機率”隨著時間範圍的增加而單調遞減
$$ P, \left( \log \frac{S_T}{S_0}) < 0\right)\to 0 ,,, \text{as } T \to \infty . $$ 因此，在這一點上，更長的期限似乎意味著持有股票的風險更低。
然而，假設我們考慮財富的比例 $ R_T = S_T/S_0 -1 $ 可能會失去 $ p $ . 這將是分數 $ X_T $ 這樣
$$ P(R_T \leqslant X_T) = p. $$ 對於GBM，我們有解決方案
$$ R_T = \frac{S_T}{S_0} - 1 = e^{\mu ,T}e^{\sigma \sqrt{T} ,\xi}, $$ 在哪裡 $ \xi \sim N(0,1) $ 和
$$ P(R_T \leqslant X_T = P \left(\xi \leqslant \frac{\log(1 + X_T)- \mu,T}{\sigma \sqrt{T}} \right). $$ 解決 $ X_T $ 就逆標準正態分佈函式而言 $ \Phi $ ，我們得到
$$ X_T = \exp[ \mu , T + \sigma \sqrt{T} \Phi^{-1}(p)]. $$ 對於足夠小的 $ p $ 我們會看到 $ X_T $ 隨著增加 $ T $ 然後最終下降到某個非常長的範圍之外。
例如，具有典型值 $ \mu = 10,%, \sigma = 20,%, p = 0.1 ,% $ 我們觀察
$$ \underline{T} ,,,,,,,\qquad \underline{X_T}\ ,,,1 \qquad -40,% \ ,,,2 \qquad -49,% \,,,5 \qquad -59,% \ 10 \qquad -62,% \ 20 \qquad -53,% $$ 因此，我們看到了薩繆爾森首先討論的時間多樣化謬誤的一個方面。根據投資者的效用函式，不同的風險特徵可以不同地影響投資者的風險規避行為。如果投資者的時間跨度是退休後的幾年，那麼在多年財富積累後，在退休之日附近出現低機率大幅回撤的可能性可能很小。可能根本沒有足夠的時間來恢復，這對投資者來說可能是毀滅性的。