用兩種不同的方法做MC模擬，它們是一樣的嗎？
我已經學習了兩個版本的蒙地卡羅模擬來做股票價格，有人可以幫忙檢查一下我的想法是否正確。
第一個是最常見的： $ \frac{\Delta S_t}{St}-1 = \mu dt + \sigma dW $ , 其中 $ \mu $ 是股票收益的平均值， $ \sigma $ 也是為了退貨，不是價格。
第二個： $ S_t = S_{t-1} \exp\left[(r- \frac{1}{2} \sigma^2) dt + \sigma dW\right] $ ， 在哪裡 $ r $ 是股票的回報和 $ \sigma $ 是為了回報。
從我的角度來看，第一個是基於股票的回報，其中回報在 BS 下是正態分佈的。然而，第二個是從價格點來看的，因為價格是根據 BS 的對數正態分佈的。
我這樣想對嗎？它們實際上是一樣的嗎？
顧名思義，蒙地卡羅模擬的目的是模擬解決方案 $ (S_t)_{t\geq 0} $ 以下 SDE （Black-Scholes 下的風險資產動態）
$$ dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t;\quad S(0)=S_0 \tag{1} $$ 在離散的時間點，通常是區間的均勻劃分 $ [0,T] $ 有時間步長 $ \Delta t $ , $$ t_0=0,,\dots, t_i=i\Delta t,,\dots,, t_N = T $$ 讓我們表示不同時間的模擬值 $ t_i $ 經過 $ (\tilde{S}{t_i}){i=0,\dots,N} $
- 你提到的第二種方法，即
$$ \tilde{S}{t_i} = \tilde{S}{t_{i-1}} \exp\left( (\mu - \sigma^2/2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} z \right) \tag{2} $$ 模擬 SDE 的精確解，以離散時間表示，因此$$ \tilde{S}{t_i} = S{t_i} $$ 它可以通過將伊藤引理應用於函式來獲得 $ \ln(S_t) $ .
- 您提到的第一種方法依賴於隨機微分方程的所謂Euler-Maruyama離散化 $ (1) $ 並且確實模擬
$$ \tilde{S}{t_i} = \tilde{S}{t_{i-1}} \left( 1 + \left( \mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} z \right) \right) \tag{3} $$ 由於離散化，模擬值的序列將僅構成精確解的近似值 $ (1) $ 這是 $ (2) $ ， IE $$ \tilde{S}{t_i} \approx S{t_i} $$ 當模擬的時間步長趨於零時，這個近似解將收斂到真實解（ $ \Delta t \to 0 $ ).
您可能會問自己，為什麼要使用上面的第二種方法，而我們可以直接使用第一種方法。
答案顯然是並非所有 SDE 都承認解析解。這意味著通常需要對 SDE 進行離散化以數值模擬其解。
除了簡單的 Euler-Maruyama 方法外，還存在許多不同的離散化方案，尤其是著名的 Milstein 系列。它們本質上的不同在於它們的收斂特性： $ \Delta t \to 0 $ .