幾何布朗運動 - 價格機率
我正在對遵循幾何布朗運動的股票價格進行建模，並具有以下內容：
$ E(X) $ = .16 (16%)
$ \sigma $ = .24 (24%)
$ X_0 $ = 95
$ T $ = 1（12 個月）
我試圖找出在這段時間結束時這隻股票的價格低於 93 的機率。我正在使用如下給出的對數正態分佈進行分析計算：
$ P(X,t) $ = $ 1\over X $ $ \cdot $ $ 1\over {\sigma \sqrt{2 \pi t}} $ $ \cdot $ $ e^{-(ln(x)- ln(x_0)-(\mu- \sigma^2 /2)t)^2}\over 2\sigma^2t $
我可以插入以下值：
$ P(X,t) $ = $ 1\over X $ $ \cdot $ $ 1\over {(.24) \sqrt{2 \pi (1)}} $ $ \cdot $ $ e^{-(ln(x)- ln(95)-((.16)- (.24)^2 /2)(1))^2}\over 2(.24)^2(1) $
但是我仍然留下了 X。我的問題是，這只是應該插入的 93 值嗎？這是否代表這段時間之後價格低於 93 的機率？如果我們想找到價格收於 93 以上的機率（只有 1 - 這個機率）怎麼辦？
知道 GBM 中價格的對數遵循以下正態分佈：
$$ \operatorname{ln}(S_t) \sim N\left(\operatorname{ln}S_0 + T*\left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right), \sigma^2 T \right) $$
您可以使用這些值創建正態分佈，然後檢查 CDF。這是python程式碼：
from scipy.stats import norm; mu=0.16; sigma=0.24;S_0=95;T=1 my_var=sigma**2*T my_norm=norm(np.log(S_0) + (mu-sigma**2/2)*T,np.sqrt(my_var)) my_norm.cdf(np.log(93))從這個正態分佈中，您可以得到 log(93) 的 CDF 值，因為您想知道值低於 93 的機率，它是 0.26260905311083976
如果不是 1 年而是 6 個月，那麼這個機率是時間相關的 $ T $ 將是 0.5。
是的，價格高於 93 的機率是它的補充，即 1-0.26。
就像正常密度一樣，這將給出 x=93 的機率密度。所以要找到機率 $ P\left[ S\le 93\right] $ ，您將需要計算累積機率。在這裡查看一些討論。https://math.stackexchange.com/questions/2445900/probability-from-log-normal-distribution
還可以在這裡嘗試 Matlab 免費頁面：https ://uk.mathworks.com/help/stats/logncdf.html以了解對數正態機率，然後在您使用的任何軟體中查找等價物。Excel也有一個功能。