如何用幾何布朗運動模擬股票價格？
我想用不同的隨機過程模擬股票價格路徑。我從著名的幾何布朗運動開始。我用以下公式模擬了這些值：
$$ R_i=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \Delta t + \sigma \varphi \sqrt{\Delta t} $$ 和：
$ \mu= $ 樣本平均值
$ \sigma= $ 樣本波動率
$ \Delta t = $ 1（1天）
$ \varphi= $ 正態分佈隨機數
我使用了一種簡短的模擬方法：使用樣本均值和样本標準差模擬正態分佈的隨機數。
將其與股票價格相乘，得到價格增量。
計算價格增量和股票價格的總和，這給出了模擬的股票價格值。（這個方法可以在這裡找到）
所以我以為我明白了這一點，但現在我發現了以下公式，這也是幾何布朗運動：
$$ S_t = S_0 \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t \right] $$ 我不明白有什麼區別？與第一個公式相比，第二個公式說明了什麼？我應該拿第二個嗎？我應該如何用第二個公式模擬？
首先，您執行此操作的方式是幾何布朗運動 (GBM) 過程的離散化。當您要計算之間的路徑時，此方法最有用 $ S_0 $ 和 $ S_t $ ，即你想知道所有的中間點 $ S_i $ 為了 $ 0 \leq i \leq t $ .
第二個方程是給定 GBM 的閉式解 $ S_0 $ . 一個簡單的數學證明表明，如果你知道初始點 $ S_0 $ （這是 $ a $ 在您的等式中），然後是時間過程的值 $ t $ 由您的方程式給出（其中包含 $ W_t $ ， 所以 $ S_t $ 仍然是隨機的）。但是，此方法不會告訴您有關路徑的任何資訊。
正如下面評論中提到的，您還可以使用關閉表單來模擬路徑的每一步。