建模資產收益中的長期均值回歸
幸運的是，由於顯而易見的原因，很少有應用程序需要模擬超過 30 年的資產回報。
然而，長期模擬有時會作為 ALM 流程的一部分在固定收益養老基金中進行。目的是通過評估達到資金嚴重不足狀態的可能性來了解投資組合風險並比較備選方案。負債的模擬基於精算模型，該模型對長期具有較高的可信度。
資產方面是有問題的。為了論證起見，假設投資在標準普爾 500 指數和現金中。幾何布朗運動等簡單模型會導致長期回報的高度分散和許多荒謬的情況。這與歷史證據不符，我們認為未來經濟增長可能出現波動。這種簡單化的模型也忽略了央行通過貨幣政策進行干預的傾向，這可以導致更快的回撤併（可能）限制資產泡沫的形成。
對於 1927 年至 2017 年期間的標準普爾 500 指數，年化回報標準差的合理估計為 1 年期間的 19% 和 30 年期間的 2%。假設與 GBM 模型一樣，非重疊時期的收益獨立，則 30 年期間的標準差將在 $ 19% , / , \sqrt{30} \approx 4%. $ 這種變異數減少通常在經濟研究論文中被引用，這些論文主張股票指數回報的長期均值回歸。
我們可以嘗試解決這個問題，例如，通過 AR 或 ARMA 類型的模型在回報中施加均值回歸。不幸的是，只有通過選擇導致不切實際和經驗上不合理的回報自相關水平的參數才能實現所需的變異數減少——例如，非重疊年度期間的回報自相關為-0.5。
我相信，更好的方法是一種制度轉換模型，在泡沫和崩潰中觸發均值回歸。問題是什麼指標適合定義制度，什麼是包含條件均值回歸的合理模型？
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您可以使用 Schwartz-Smith 的二因子模型。這是商品中非常標準的模型，您可以在其中觀察到這種長期均值回歸（“長期”在這里大約一年）。
這是一個均值回歸模型，其中長期均值回歸本身就是一個布朗過程。這樣，您可以在短期內獲得穩定的隨機性，但可以在長期內獲得均值回歸。
這是原始論文：
您可以查看的一種經濟模型是 Campbell 和 Cochrane (1999) 的習慣模型。基本思想是，當代表投資者的消費接近（適當定義的）消費習慣水平時，代表投資者的風險厭惡情緒會飆升：這意味著貼現率急劇增加，我們看到股價大幅下跌。在這次沖擊之後，貼現率恢復了，股價也恢復了。
如果你想要一個純粹的統計模型，你可以看看 Lu Zhang (2005,JF) 如何寫下一個隨機貼現因子的統計過程，它給了我們這種股票回報過程。
$$ \begin{equation} x_{t+1} = \bar{x}\left(1-\rho_x\right) + \rho_x x_t + \sigma_x\varepsilon_{t+1}^x \end{equation} $$ $$ \begin{align*} M_{t+1} = \beta^{\left(\gamma_0 + \gamma_1\left(x_t-\bar{x}\right)\right)\left(x_t-x_{t+1}\right)} \end{align*} $$ 這裡 $ \gamma_0>0 $ ， 和 $ \gamma_1<0 $ ,（通常為 50,-1000）。把 x 想像成消費，M 是貼現因子過程（即我們對權益的未來現金流折現多少），並註意風險厭惡對高於和低於均值的消費變化的不對稱反應。
這未經測試，但可能會幫助您獲得一個想法。