股票遠期合約定價
請告訴我哪裡出錯了（如果我確實犯了錯誤）。我正在為一隻股票定價一個多頭遠期。通常的設置適用：
- 這有回報 $ S(T) - K $ 有時 $ T $ .
- 我們在 $ t $ 現在。
- $ S(T) = S(t)e^{(r-\frac12 \sigma^2)(T-t)+\sigma(W(T)-W(t))} $ .
- $ W(t) $ 是維納過程。
- $ K \in \mathbb{R}_+ $ .
- $ Q $ 是風險中性度量。
- $ \beta(t) = e^{rt} $ 是國內儲蓄賬戶，一種可交易資產。 $ r $ 是恆定的無風險利率。
我的嘗試：
$ f(t,S) = E^Q[\frac{\beta(t)}{\beta(T)}(S(T)-K)|\mathscr{F}_t] $
$ = E^Q [\frac{\beta(t)}{\beta(T)}S(T)|\mathscr{F}_t] - E^Q [\frac{\beta(t)}{\beta(T)}K|\mathscr{F}_t] $
$ = E^{P_S}[\frac{\beta(t)}{\beta(T)}S(T) \frac{\beta(T)S(t)}{\beta(t)S(T)}|\mathscr{F}_t] - \frac{\beta(t)}{\beta(T)}K $
$ = S(t) - K\frac{\beta(t)}{\beta(T)} $
$ = S(t) - Ke^{-r(T-t)} $
這不是評分的家庭作業或作業。（這是未評分的作業）
在我看來你是對的：你到達
$$ f(t,S) = S(t) - K e^{-r(T-t)}. $$ 假使，假設 $ t=0 $ ，所以我們在契約開始時，那麼 $$ f(0,S) = S(0) - Ke^{-r T}. $$ 如果你選擇 $ K = S(0) e^{r T} $ 那麼契約開始時的價值為零。這僅僅意味著遠期的公平價格由下式給出 $ K= S(0) e^{r T} $ 這是您在教科書中找到的公式。這回答了你的問題了嗎？
理查德一針見血。
人們需要區分遠期價格（或只是“遠期”），這是一個數字，表示您現在可以在沒有預付款的情況下進入遠期，以及遠期合約的價值，通常在開始時為零（如果選擇的行使價確實是遠期價格），但隨著時間的推移而變化，最終成為 $ S(T) - K $ 在 T，無論選擇什麼罷工 K。
因此，如果除了利率 r 之外沒有股息和其他持有成本，那麼到期 T 的 0 遠期價格確實是 $ K = S(0) e^{rT} $ ，因此時間值 $ t $ 遠期合約到期時間 $ T $ 在時間 0 輸入的是
$ S(t) - S(0)e^{rt} $
順便說一句，這很好地表明，前鋒的 delta 為 1，至少在沒有股息和其他干擾的情況下（這就是為什麼，順便說一下，我認為 delta-one 辦公桌應該重命名為 gamma-zero …：- )