股票
作為連續時間隨機過程的股票價格價值
我正在學習一本關於隨機系統建模的數學教科書。教科書以股票價格作為連續時間隨機過程的例子：如果 $ X(t) $ 是股票當時的價值 $ t $ ， 然後 $ { X(t), t \ge 0 } $ 是具有狀態空間的連續時間隨機過程 $ [0, \infty) $ . 但實際上，股價值是 $ 0.01 $ . 那麼這是否意味著股票價格值是連續時間隨機過程的範例，但具有離散的狀態空間？我是否正確解釋了這一點？
如果人們能花時間澄清這一點，我將不勝感激。
是和不是。顯然，股票價格（或任何資產的價格）不是連續觀察到的。這適用於價值（價格）維度和時間維度。
然而，這並不意味著我們不能將股票價格建模為時間和空間連續的過程。通常，時間和空間連續方法更優雅並產生更好的結果。此外，連續模型通常是離散模型的限制。無論如何，連續模型的實現需要您對模型進行離散化（因為您只有離散數據集，而電腦只能處理離散集）。
請注意，順便說一下，我們可以以比美分或便士更高的精度記錄價格。看看可以用更精細的網格交易的貨幣，我們可以（技術上）使用正實軸的任意精細分區。但是，是的，您永遠無法觀察到以美元交易的股票 $ \pi $ . 但是，如果您允許連續範圍，模型會變得更容易和更好。
您是否將股票價格視為我們只是離散記錄的連續過程，或者您是否認為股票價格是我們只是連續建模的離散對象，這幾乎是一個哲學問題。
這裡有一些例子：
- 離散時間，離散狀態空間
簡單隨機遊走
- 離散時間，連續狀態空間
高斯隨機遊走
- 連續時間，離散狀態空間
泊鬆滿足過程
- 連續時間，連續狀態空間
布朗運動