檢驗股票收益因子模型的有效性
考慮以下 m 回歸方程組：
$$ r^i = X^i \beta^i + \epsilon^i ;;; \text{for} ;i=1,2,3,..,n $$ 在哪裡 $ r^i $ 是一個 $ (T\times 1) $ 因變數的 T 個觀測值的向量， $ X^i $ 是一個 $ (T\times k) $ 自變數矩陣， $ \beta^i $ 是一個 $ (k\times1) $ 回歸係數的向量和 $ \epsilon^i $ 是誤差向量 $ T $ 的觀察 $ i^{th} $ 回歸。
我的問題是：為了使用 AIC 或 BIC 標準來測試該模型對股票收益（即包含那些解釋變數）的有效性，是否應該按時間序列計算這些標準（即針對每隻股票），或者在橫截面的基礎上（然後隨時間平均）？
我想指出Lewellen、Nagel 和 Shaken最近的一篇論文，它稍微改變了因子模型的測試方式。標準程序是對Fama&French 25 大小和 BE/ME 排序的投資組合進行因子模型的時間序列回歸以獲得因子載荷，然後使用橫斷面回歸 $ R^2 $ 作為模型好壞的一個很好的衡量標準。Lewellen、Nagel 和 Shanken 展示的是——鑑於大小和價值的強大解釋力——每當我們測試一個與HML 和 SMB有點相關的因素時，很容易得到高 $ R^2 $ .
因此，他們提出了一種測試因子模型的新程序，該程序正在成為資產定價文獻中的標準：
使用兩步程序（例如 Fama-Macbeth）對除 25 大小和 BE/ME 排序的投資組合之外的許多投資組合測試模型。一些例子可能是行業、波動性、貝塔排序的投資組合以及債券投資組合。
將橫截面斜率的值與理論預測的值進行比較
-使用 GLS 橫截面 $ R^2 $
每當交易因子時，將其包含在回歸中並檢查其定價是否正確。或者建構一個“因子模仿投資組合”，然後測試它是否有效
檢查信賴區間 $ R^2 $ 和總平方誤差
據我所知，很少有模型通過 Lewellen、Nagel 和 Shanken 測試，我敢打賭，如果您想檢查您的模型是否良好，您應該走這條路線，看看結果如何。
這個答案取決於 $ X^i $
在跳到解決方案之前，應該回答是 $ X^i $ 在市場上交易？即是市場上可用的這些回報（規模/動量投資組合、ETF 回報）還是這些經濟變數，如 CPI、通貨膨脹等。
如果是前者，即交易資產，那麼我們可以進行時間序列回歸來計算因子載荷，即 $ \beta_i $ . 但是，我們需要在執行回歸時確保其他事情，例如多重共線性檢查等，以避免虛假結果。人們已經使用 PCA 和分群技術來檢查這些東西。例如，Fama-French 模型、Cahart 4 因子模型。
為了使用 CPI、通貨膨脹、失業數據等經濟變數，我們需要進行橫截面回歸，因為我們不知道什麼是因子風險溢價，即
$$ E[R^i - rf] $$ 所以這將是一個兩步回歸。您可以使用Fama-Macbeth或類似程序。例如，Chen-Ross-Roll 模型。