從共變異數矩陣計算變異數歸因
假設我有一個包含兩個具有權重的資產的投資組合 $ (x, y) $ ，兩個資產的共變異數矩陣為 $ ((a, r)(r, b)) $ . 那麼投資組合的總變異數為 $ x^2a+2xyr+y^2b $ . 很容易得到資產差異的百分比 $ x $ 是 $ \frac{x^2a+xyr}{x^2a+2xyr+y^2b} $ . 我想知道在 n 維情況下，如何根據共變異數矩陣以數學方式計算每個資產的變異數百分比？
假設共變異數矩陣是 $ V $ （n乘n），權重是 $ w $ （長度為 n）。
那麼投資組合變異數是 $ V_p = w^T V w $
和資產的風險貢獻（以變異數計） $ k $ 是
$ RC_k=w_k \sum_j V[k,j]w_j $
換句話說，這是“資產的權重 k 乘以第 k 行的內積 $ V $ 和權重向量”。（有時剛才提到的“…的內積”被命名為資產的邊際風險貢獻 $ k $ ，這導致緊湊的表達式 $ RC_k=w_k MRC_k $ ).
然後我們有“分解屬性” $ V_p=\sum_k RC_k $ 或百分比
$$ \sum_k \frac{RC_k}{V_p}=1 $$
如果我們將其應用於兩個案例
$ V=\begin{bmatrix} a & r \ r & b \ \end{bmatrix} $
和 $ w=\begin{bmatrix}x \ y \end{bmatrix} $
我們得到投資組合的總變異數為 $ V_p=a x^2+2 r x y + b y^2 $
第一個資產的變異數貢獻是 $ RC_1=x(ax+ry) $
而百分比貢獻是這兩者的比率（後者除以前者）。這與您的結果一致。
這些結果的兩個很好的參考是
Edward Qian：關於風險貢獻的財務解釋：風險預算確實加起來（2005 年）
S. Maillard, T. Roncali：關於等權風險貢獻投資組合的性質（2009 年）
也經常被引用的是
D Tasche：業務單位和子投資組合的資本分配：歐拉原理（2008 年）